Fovéa Maths · Ressources · Terminale spécialité
Ce n'est pas le chapitre des limites qui bloque les élèves. C'est ce qui aurait dû être installé avant — et qu'on va installer ici, en remontant aussi loin qu'il faut. Si ça reste flou depuis un moment, ce n'est presque jamais une question de travail : c'est qu'un chaînon précis n'a jamais été posé.
01Une limite ne se calcule pas. Elle se lit.
Demandez à un élève de Terminale ce qu'est une limite : il vous récitera des règles de calcul. Demandez-lui ce que ça signifie : silence. Ce silence n'est pas un manque de sérieux — c'est le symptôme, très reconnaissable, d'un chapitre appris à l'envers : les techniques avant le sens. Et une technique sans sens s'effondre à la première forme un peu inhabituelle.
Voici le sens, en une phrase : une limite est une question posée à une fonction. La question a toujours la même grammaire, en deux cases :
\[ \lim_{\underbrace{x \to \,?}_{\text{case 1 : où va } x}} f(x) = \underbrace{?}_{\text{case 2 : que fait } f} \]
Case 1 — où on envoie la variable : vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), ou vers un nombre précis (souvent une valeur interdite). Case 2 — comment la fonction répond : elle se stabilise vers un nombre, elle explose vers \(\pm\infty\), ou elle refuse de choisir (pas de limite).
Devant tout énoncé de limite, remplissez d'abord ces deux cases en français : « quand \(x\) devient immense, que devient \(f(x)\) ? ». Tant que la question n'est pas formulée, aucun calcul n'a de direction.
Ce renversement — la question avant le calcul — est le cœur de la méthode Fovéa : voir avant de calculer. La suite de cet article installe les trois briques qui rendent la lecture possible : le réflexe de l'inverse, le statut de l'infini, et la lecture au bord des courbes.
02La fondation manquante : le réflexe de l'inverse
Voici la lacune la plus fréquente — et elle ne date pas de la Terminale, ni même du lycée. Elle date du collège, du chapitre sur les fractions, et personne n'est jamais revenu dessus. Faisons-le maintenant, avec des nombres, sans aucune théorie :
| on divise 1 par… | 10 | 1 000 | 1 000 000 | un nombre immense |
|---|---|---|---|---|
| résultat | 0,1 | 0,001 | 0,000001 | presque zéro |
| on divise 1 par… | 0,1 | 0,001 | 0,000001 | un nombre minuscule |
|---|---|---|---|---|
| résultat | 10 | 1 000 | 1 000 000 | immense |
Relisez ces deux tableaux jusqu'à ce qu'ils deviennent évidents. Ils contiennent, à eux seuls, la moitié du chapitre des limites — et si vous lisez ceci par-dessus l'épaule de votre enfant, c'est en général ici, à ce chaînon précis du collège, que se loge le blocage qu'il ressent aujourd'hui sans pouvoir le nommer.
\[ \frac{1}{\text{immense}} = \text{minuscule} \qquad\qquad \frac{1}{\text{minuscule}} = \text{immense} \]
Autrement dit : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\) et \(\dfrac{1}{x}\) explose quand \(x\) s'approche de \(0\). Ce n'est pas une formule à apprendre : c'est le tableau ci-dessus, résumé. Une écrasante majorité des limites du BAC se ramène, après réécriture, à ce seul réflexe.
« Minuscule » a deux visages : \(0{,}001\) et \(-0{,}001\). Or \(\dfrac{1}{0{,}001} = 1000\) mais \(\dfrac{1}{-0{,}001} = -1000\). Immense positif d'un côté, immense négatif de l'autre — pour deux nombres quasiment identiques. C'est toute la raison d'être des limites « à gauche » et « à droite » : près d'une valeur interdite, le côté par lequel on arrive décide du signe de l'explosion. Quand vous écrivez \(x \to 0^+\) ou \(x \to 0^-\), vous ne faites pas de la décoration de notation : vous répondez à la question du signe.
03L'infini n'est pas un nombre
Deuxième fondation, et deuxième source silencieuse d'erreurs : le statut de \(\infty\). Le symbole ressemble à un nombre, se manipule dans des égalités comme un nombre — et n'en est pas un. \(+\infty\) est un comportement : écrire \(\lim f(x) = +\infty\) signifie « \(f(x)\) finit par dépasser n'importe quel seuil — un million, un milliard, ce que vous voulez — pourvu que \(x\) aille assez loin ». C'est une promesse de dépassement, pas une valeur.
Si l'infini était un nombre, on aurait \(\infty - \infty = 0\). C'est faux, et voici pourquoi en trente secondes : \(x^2 - x\) est de la forme « \(\infty - \infty\) » quand \(x \to +\infty\)… et tend vers \(+\infty\). Mais \(x - x^2\), même forme, tend vers \(-\infty\). Et \((x+3) - x\), même forme encore, tend vers \(3\). Trois résultats différents pour la même écriture : voilà exactement ce que signifie « forme indéterminée ». Le symbole ne suffit pas à conclure — il faut regarder qui sont les deux infinis en présence. On y revient en section 07.
Retenez la reformulation en français, elle vaut toutes les définitions formelles pour comprendre : « aussi grand que l'on veut, pourvu que \(x\) soit assez grand ». C'est d'ailleurs, mot pour mot ou presque, la définition officielle du programme — simplement dite avant d'être symbolisée.
04Où se lisent les limites sur une courbe
Une limite ne se lit jamais « au milieu » d'une courbe. Elle se lit aux frontières — là où quelque chose échappe au dessin. Il n'y a que deux types de frontières, donc deux gestes de lecture :
- Geste 1 — les bords horizontaux. Suivez la courbe des yeux vers la droite du dessin, le plus loin possible : ce que fait la courbe (se stabiliser à une hauteur, plonger, s'envoler) est la limite en \(+\infty\). Même geste vers la gauche pour \(-\infty\).
- Geste 2 — les frontières verticales. Repérez les valeurs interdites (dénominateur nul, intérieur d'un \(\ln\)…). Approchez-vous-en des deux côtés : la courbe s'écrase le long d'une droite verticale, vers le haut ou vers le bas. Le côté d'approche décide du sens — c'est le piège du signe de la section 02, rendu visible.
Deux gestes, c'est tout. Toute limite lisible graphiquement est l'un des deux.
05La galerie des limites usuelles
Voici les six fonctions de référence de la Terminale, chacune avec ses limites aux bornes. Consigne de lecture : pour chaque courbe, exécutez les deux gestes de la section précédente avant de lire les limites écrites dessous — puis vérifiez. Ces limites ne s'apprennent pas par cœur ; elles se voient. Une fois la courbe installée dans l'œil, la limite est une simple description de ce que vous regardez.
Le carré : \(x^2\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty\)
Les deux branches montent : un carré est toujours positif, l'exposant pair efface le signe.
Le cube : \(x^3\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty\)
L'exposant impair conserve le signe : la courbe suit son \(x\). Généralisation immédiate à tous les \(x^n\), selon la parité de \(n\).
La racine : \(\sqrt{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
Elle monte sans jamais s'arrêter — mais de plus en plus lentement. Pas de limite en \(-\infty\) : la fonction n'y existe pas. Une limite ne se demande que là où la fonction vit.
L'inverse : \(\dfrac{1}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)
Les deux tableaux de la section 02, dessinés. Quatre limites, un seul réflexe.
L'exponentielle : \(e^x\)
\(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
À gauche, elle s'écrase sur l'axe sans jamais l'atteindre — strictement positive partout. À droite, la croissance la plus violente du programme.
Le logarithme : \(\ln x\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
Le miroir de l'exponentielle : frontière verticale en \(0\), montée vers \(+\infty\) à droite — mais d'une lenteur extrême. Retenez le couple : \(e^x\) le sprinteur, \(\ln x\) l'escargot.
Regardez la galerie une dernière fois, en comparant les montées vers \(+\infty\) : \(\ln x\) rampe, \(\sqrt{x}\) marche, \(x^2\) et \(x^3\) courent, \(e^x\) explose. Cette hiérarchie des vitesses — logarithme \(\ll\) puissances \(\ll\) exponentielle — n'est pas une curiosité : c'est l'arbitre qui départage les formes indéterminées (les « croissances comparées » du cours). L'installer visuellement maintenant, c'est comprendre d'avance le chapitre suivant.
06L'asymptote : ce qu'elle est vraiment
Une asymptote n'est pas une droite magique : c'est le comportement que la courbe finit par adopter. Dire que la droite \(y = 2\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\), c'est dire exactement une chose : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\). La distance entre la courbe et la droite fond vers zéro. Rien de plus, rien de moins.
C'est la légende la plus tenace du lycée — et elle est fausse pour les asymptotes horizontales. La définition parle du comportement au bout, pas du trajet : une courbe peut parfaitement toucher sa droite asymptote, la traverser, osciller autour d'elle une infinité de fois, tant qu'elle finit par s'en rapprocher indéfiniment. Seule l'asymptote verticale est intouchable au point concerné — non par interdiction géométrique, mais parce que la fonction n'y est tout simplement pas définie. Un élève qui refuse de tracer une courbe croisant \(y = 2\) « parce que c'est l'asymptote » applique une règle qui n'existe pas.
Après un calcul de limite, la traduction géométrique se rédige toujours sur le même modèle : « On a \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\), donc la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\). » Trois composants obligatoires : l'équation de la droite, le mot « asymptote » avec sa nature (horizontale/verticale), et l'endroit (en \(+\infty\), en \(-\infty\), ou au point interdit). L'endroit est le composant le plus oublié — et il est noté.
07Les formes indéterminées : quatre duels
Vous avez maintenant tout pour comprendre pourquoi certaines limites « résistent ». Quand deux comportements tirent dans le même sens, le résultat est immédiat : immense + immense = immense. Mais quand ils s'affrontent, le symbole ne suffit plus — il faut départager les forces. Il existe exactement quatre duels :
\[ \infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0} \]
Quatre écritures, une seule signification : deux forces opposées, issue incertaine — on l'a vu en section 03 avec \(x^2 - x\), \(x - x^2\) et \((x+3) - x\), trois duels « \(\infty - \infty\) » aux trois issues différentes. « Indéterminée » ne veut pas dire « impossible » : ça veut dire que le travail commence — factoriser pour révéler le terme dominant, ou invoquer la hiérarchie des vitesses de la section 05. Ce sera l'objet d'un prochain article de cette série.
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085 calculs de limites, inspirés du BAC
Cinq énoncés dans l'esprit de ce qui tombe réellement à l'épreuve — les constantes ont été changées, la structure non. Chacun se résout avec ce que cet article vient d'installer : le réflexe de l'inverse, la galerie des limites usuelles, la lecture d'asymptote. Cherchez avant d'ouvrir le corrigé — c'est la seule façon de savoir si le chaînon est posé ou seulement lu.
Fonction exponentielle
Niveau : s'échaufferOn considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = 3e^x - 2 \]
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\). Interpréter le premier résultat en termes d'asymptote.
Voir le corrigé
En \(-\infty\)
D'après la galerie des limites usuelles, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\). Donc \(3e^x \to 0\), et :
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3 \times 0 - 2 = -2 \]
La droite d'équation \(y = -2\) est donc asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(-\infty\).
En \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\), donc \(3e^x \to +\infty\), et :
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]
Fonction logarithme et domaine
Niveau : surveiller le domaineOn considère la fonction \(g\) définie sur \(\,]2\,;+\infty[\) par :
\[ g(x) = \ln(x-2) + 1 \]
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)\).
Voir le corrigé
\(g\) n'existe que pour \(x > 2\) : c'est pour cela qu'on ne peut demander la limite qu'en \(2^+\), jamais en \(2^-\) ni en \(2\) tout court. Une limite ne se pose que là où la fonction vit.
En \(2^+\)
Quand \(x \to 2^+\), on a \(x - 2 \to 0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites). D'après la galerie, \(\displaystyle\lim_{X \to 0^+} \ln X = -\infty\). Donc :
\[ \lim_{x \to 2^+} g(x) = -\infty \]
La droite d'équation \(x = 2\) est asymptote verticale à la courbe de \(g\).
En \(+\infty\)
Quand \(x \to +\infty\), \(x - 2 \to +\infty\), donc \(\ln(x-2) \to +\infty\) (galerie), et :
\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \]
Fonction rationnelle, deux types d'asymptotes
Niveau : cœur du BACOn considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\) par :
\[ h(x) = \frac{2x+5}{x-4} \]
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 4^-} h(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 4^+} h(x)\).
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x)\).
Voir le corrigé
1. Aux abords de 4
Le numérateur en \(x = 4\) vaut \(2(4)+5 = 13\), un nombre strictement positif — il ne pose pas de problème et reste proche de \(13\) quand \(x\) est proche de \(4\). Tout se joue donc sur le dénominateur \(x - 4\), qui tend vers \(0\), et sur son signe — exactement le piège du signe de la section 2.
Si \(x \to 4^+\) : \(x - 4 \to 0^+\) (minuscule positif), donc \(\dfrac{13}{0^+} \to +\infty\) :
\[ \lim_{x \to 4^+} h(x) = +\infty \]
Si \(x \to 4^-\) : \(x - 4 \to 0^-\) (minuscule négatif), donc \(\dfrac{13}{0^-} \to -\infty\) :
\[ \lim_{x \to 4^-} h(x) = -\infty \]
La droite \(x = 4\) est asymptote verticale à la courbe de \(h\).
2. En \(+\infty\)
Ici la forme est \(\dfrac{\infty}{\infty}\) : on ne peut pas conclure directement, il faut réécrire — c'est le réflexe de la section 2, appliqué au numérateur et au dénominateur. On divise haut et bas par \(x\) :
\[ h(x) = \frac{2x+5}{x-4} = \frac{2 + \dfrac{5}{x}}{1 - \dfrac{4}{x}} \]
Quand \(x \to +\infty\), \(\dfrac{5}{x} \to 0\) et \(\dfrac{4}{x} \to 0\) (le réflexe, encore lui). Donc :
\[ \lim_{x \to +\infty} h(x) = \frac{2+0}{1-0} = 2 \]
La droite \(y = 2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\) en \(+\infty\).
Quotient de polynômes
Niveau : le réflexe généraliséOn considère la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ k(x) = \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^2 + 2} \]
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} k(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} k(x)\).
Voir le corrigé
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\) : on divise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, ici \(x^2\). Chaque terme restant se transforme en un \(\dfrac{1}{x}\) ou un \(\dfrac{1}{x^2}\) — c'est-à-dire, exactement, le réflexe de la section 2, appliqué deux fois.
\[ k(x) = \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^2+2} = \frac{3 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2}}{1 + \dfrac{2}{x^2}} \]
Que \(x\) parte vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), \(\dfrac{5}{x}\), \(\dfrac{1}{x^2}\) et \(\dfrac{2}{x^2}\) tendent tous vers \(0\) — un « minuscule » n'a pas besoin d'être positif pour écraser à zéro. Donc, dans les deux cas :
\[ \lim_{x \to +\infty} k(x) = \lim_{x \to -\infty} k(x) = \frac{3-0+0}{1+0} = 3 \]
La droite \(y = 3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(k\), à la fois en \(+\infty\) et en \(-\infty\) — une même droite peut border une courbe des deux côtés.
Quotient avec une racine
Niveau : étendre le réflexeOn considère la fonction \(m\) définie sur \(\,]0\,;+\infty[\) par :
\[ m(x) = \frac{5x-3}{\sqrt{x}} \]
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} m(x)\).
Voir le corrigé
Forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\) encore — mais séparer la fraction en deux morceaux est ici plus direct que de diviser par un terme dominant.
On sépare la fraction en deux termes :
\[ m(x) = \frac{5x}{\sqrt{x}} - \frac{3}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} \]
(on a utilisé \(\dfrac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\), puisque \(x = \sqrt{x} \times \sqrt{x}\).)
Quand \(x \to +\infty\) : \(\sqrt{x} \to +\infty\) (galerie), donc \(5\sqrt{x} \to +\infty\). Et le réflexe de la section 2 s'étend sans effort à la racine : \(\sqrt{x}\) immense \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) minuscule, donc \(\dfrac{3}{\sqrt{x}} \to 0\).
Une somme « immense \(+\) presque rien » reste immense :
\[ \lim_{x \to +\infty} m(x) = +\infty \]
Le réflexe de l'inverse ne se limite pas à \(\dfrac{1}{x}\) : il s'applique à toute quantité qui devient immense au dénominateur, racine comprise. C'est la même idée, partout.
09Questions fréquentes
Une limite est-elle atteinte par la fonction ?
Pas nécessairement — et surtout, ce n'est pas la question posée. La limite décrit le comportement de \(f(x)\) quand \(x\) s'approche d'une valeur ou part à l'infini, pas la valeur prise en chemin. Une fonction peut atteindre sa limite, la traverser, ou ne jamais la toucher : trois situations compatibles avec la même limite.
Pourquoi l'infini n'est-il pas un nombre ?
Parce que \(+\infty\) désigne un comportement — « dépasser n'importe quel seuil » — et non une quantité. C'est pourquoi les règles ordinaires du calcul ne s'y appliquent pas : \(\infty - \infty\) n'est pas \(0\) mais une forme indéterminée, dont l'issue dépend des fonctions en duel.
Une courbe peut-elle traverser son asymptote ?
Une asymptote horizontale, oui — la toucher, la traverser, y compris une infinité de fois. La définition porte sur le comportement à l'infini, pas sur le trajet. Une asymptote verticale, non : au point concerné, la fonction n'est pas définie, il n'y a rien à traverser.
Faut-il apprendre les limites usuelles par cœur ?
Non : il faut installer les six courbes dans l'œil. Chaque limite usuelle est une simple description de sa courbe aux frontières. Un élève qui « voit » la courbe de \(e^x\) n'a rien à réciter : la limite \(0\) en \(-\infty\) est sous ses yeux. C'est plus fiable qu'une liste mémorisée — une liste s'oublie, une image beaucoup moins.
Mon enfant bloque sur les limites : le problème vient-il vraiment de ce chapitre ?
Rarement. Dans la majorité des cas, le blocage vient de fondations antérieures jamais consolidées : le comportement de l'inverse (collège), le statut de l'infini, la lecture graphique. Travailler le chapitre sans reprendre ces fondations, c'est construire l'étage sans le rez-de-chaussée — c'est précisément ce qu'un diagnostic permet d'identifier.