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Pourquoi les élèves le ratent, comment le voir avant de le rédiger, et la rédaction exacte qu'attend le correcteur. Avec 3 exercices corrigés type BAC.
01Voir la récurrence avant de la rédiger
La récurrence est la première vraie démonstration que rencontre un élève de Terminale. Pas une vérification, pas un calcul : une architecture logique, avec des blocs qui ont chacun un rôle et un ordre imposé. C'est précisément pour ça qu'elle est ratée — pas par manque de travail, mais parce que l'élève essaie de la calculer avant de l'avoir vue.
Chez Fovéa, tout part de ce principe : voir avant de calculer. Devant un énoncé, la première question n'est jamais « quelle formule ? » mais « quelle structure ? ». Pour la récurrence, la structure se repère à deux signaux, presque toujours présents dans l'énoncé :
- Signal 1 — la quantification : l'énoncé demande de démontrer une propriété « pour tout entier naturel \(n\) ». Une infinité de cas à traiter d'un coup : aucune vérification cas par cas ne suffira jamais.
- Signal 2 — le lien entre deux rangs : on dispose d'une relation qui relie le rang \(n\) au rang \(n+1\). Typiquement : une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Ces deux signaux réunis = récurrence. Avant même de lire la question en entier, vous savez quel outil sortir. C'est ça, un réflexe de bon élève : la reconnaissance précède le calcul.
02Le principe — et pourquoi il fonctionne
On veut démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\). Le principe de récurrence dit qu'il suffit d'établir deux choses :
\[ \underbrace{P(0) \text{ est vraie}}_{\text{initialisation}} \quad \text{et} \quad \underbrace{\forall n \in \mathbb{N},\ P(n) \Rightarrow P(n+1)}_{\text{hérédité}} \]
L'image des dominos n'est pas une décoration : c'est le mécanisme exact. L'hérédité garantit que chaque domino, s'il tombe, renverse le suivant. L'initialisation pousse le premier. Sans le premier geste, une rangée de dominos parfaitement alignés reste debout pour l'éternité — et c'est là que se cache l'erreur la plus profonde des élèves, on y revient plus bas.
Notez la subtilité de l'hérédité : on ne démontre pas que \(P(n)\) est vraie. On démontre une implication : « si \(P(n)\) est vraie à un rang \(n\), alors \(P(n+1)\) l'est aussi ». L'hypothèse « \(P(n)\) vraie » vous est offerte gratuitement le temps de la démonstration — c'est l'hypothèse de récurrence. Toute la partie technique de l'exercice consiste à transformer cette hypothèse en la conclusion \(P(n+1)\).
Dans l'hérédité, votre unique travail est de faire apparaître \(P(n)\) quelque part dans \(P(n+1)\). Partez de ce que vous voulez atteindre (l'expression au rang \(n+1\)), et cherchez comment y injecter la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour retomber sur du rang \(n\) — là où votre hypothèse s'applique.
03La méthode en trois blocs
- Bloc 0 — Nommer la propriété. Avant tout, écrire noir sur blanc : « Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P(n)\) la propriété : … ». Ce n'est pas cosmétique : nommer la propriété vous oblige à savoir précisément ce que vous démontrez, et donne au correcteur la preuve que vous le savez.
- Bloc 1 — Initialisation. Vérifier \(P(n_0)\) au premier rang concerné (souvent \(n_0 = 0\) ou \(1\) — lisez l'énoncé, pas votre habitude). C'est un calcul direct, deux lignes maximum.
- Bloc 2 — Hérédité. Fixer un entier \(n\), supposer \(P(n)\) vraie (hypothèse de récurrence), démontrer \(P(n+1)\). C'est ici que vit toute la technique de l'exercice.
- Bloc 3 — Conclusion. Invoquer explicitement le principe de récurrence. Une phrase, toujours la même — mais elle rapporte des points et son absence en coûte.
04La rédaction type qui rapporte les points
Le correcteur d'une copie de BAC lit vite et cherche des marqueurs. Voici le squelette exact à recopier — apprenez-le comme une structure fixe, seul le contenu mathématique change d'un exercice à l'autre :
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P(n)\) la propriété : « … ».
Initialisation. Pour \(n = 0\) : [calcul direct]. Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(P(n)\) vraie, c'est-à-dire : « … » (hypothèse de récurrence). Montrons \(P(n+1)\), c'est-à-dire : « … ».
[démonstration — citer « d'après l'hypothèse de récurrence » au moment précis où on l'utilise]
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et \(P(n)\) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Deux détails qui distinguent une copie solide : écrire explicitement ce que signifie \(P(n+1)\) avant de la démontrer (vous savez où vous allez, le correcteur aussi), et citer l'hypothèse de récurrence à l'endroit exact où elle sert — pas en préambule vague.
05Les trois pièges qui coûtent le plus cher
L'hérédité seule ne prouve rien. Exemple redoutable : la propriété « \(4^n + 1\) est divisible par \(3\) » est parfaitement héréditaire (si \(3\) divise \(4^n+1\), alors \(4^{n+1}+1 = 4(4^n+1) - 3\) est divisible par \(3\))… et pourtant fausse pour tout \(n\) : \(4^0+1 = 2\), \(4^1+1=5\), \(4^2+1 = 17\)… La chaîne de dominos est irréprochable ; personne n'a poussé le premier. Une hérédité sans initialisation est une démonstration de rien.
Écrire « supposons que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\) » est une faute logique éliminatoire : vous venez de supposer la conclusion. La formulation correcte fixe un entier : « Soit \(n \in \mathbb{N}\), supposons \(P(n)\) vraie ». Un seul mot d'écart, toute la logique bascule.
Si votre démonstration de \(P(n+1)\) n'a utilisé nulle part l'hypothèse de récurrence, deux cas : soit la récurrence était inutile (rare au BAC), soit — bien plus probable — votre démonstration est fausse et vous ne l'avez pas vu. Test systématique en fin d'hérédité : « où ai-je utilisé l'hypothèse ? » Si la réponse est « nulle part », reprenez.
063 exercices corrigés type BAC
Trois structures, par difficulté croissante — ce sont les trois formes sous lesquelles la récurrence tombe réellement à l'épreuve : la formule explicite, l'encadrement + monotonie d'une suite récurrente, et l'inégalité de Bernoulli (démonstration exigible du programme).
Formule explicite d'une suite
Niveau : s'échaufferOn considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ u_{n+1} = 2u_n - 1 \]
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n = 2^n + 1\).
Voir le corrigé rédigé
Les deux signaux sont là : « pour tout entier naturel \(n\) » + une relation \(u_{n+1} = f(u_n)\). Structure : récurrence. La propriété à nommer est l'égalité elle-même.
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P(n)\) la propriété : « \(u_n = 2^n + 1\) ».
Initialisation
Pour \(n = 0\) : \(2^0 + 1 = 1 + 1 = 2 = u_0\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(P(n)\) vraie, c'est-à-dire \(u_n = 2^n + 1\) (hypothèse de récurrence). Montrons \(P(n+1)\), c'est-à-dire \(u_{n+1} = 2^{n+1} + 1\).
D'après la relation de récurrence, puis d'après l'hypothèse de récurrence :
\[ u_{n+1} = 2u_n - 1 = 2\left(2^n + 1\right) - 1 = 2^{n+1} + 2 - 1 = 2^{n+1} + 1 \]
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion
\(P(0)\) est vraie et \(P(n)\) est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = 2^n + 1\).
Le moteur de l'hérédité tient en une substitution : la relation \(u_{n+1} = 2u_n - 1\) fait apparaître \(u_n\), et l'hypothèse de récurrence remplace \(u_n\) par \(2^n + 1\). Toutes les récurrences « formule explicite » fonctionnent sur ce geste unique : relation de récurrence, puis substitution.
Encadrement et monotonie d'une suite récurrente
Niveau : cœur du BACOn considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[ u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4} \]
1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(0 \leqslant u_n \leqslant 4\).
2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
3. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
Voir le corrigé rédigé
C'est la structure reine du BAC : encadrement par récurrence, puis monotonie, puis convergence par le théorème de la limite monotone. Repérez le nombre \(4\) : c'est le point fixe, solution de \(x = \sqrt{3x+4}\). L'énoncé ne le dit pas — mais l'encadrement demandé le désigne. La suite « monte vers » sa limite.
1. Encadrement
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P(n)\) la propriété : « \(0 \leqslant u_n \leqslant 4\) ».
Initialisation
\(u_0 = 0\), et \(0 \leqslant 0 \leqslant 4\). Donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(0 \leqslant u_n \leqslant 4\) (hypothèse de récurrence). Montrons que \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\).
D'après l'hypothèse de récurrence : \(0 \leqslant u_n \leqslant 4\), donc en multipliant par \(3\) puis en ajoutant \(4\) :
\[ 4 \leqslant 3u_n + 4 \leqslant 16 \]
La fonction racine carrée étant croissante sur \([0\,;+\infty[\) :
\[ 2 \leqslant \sqrt{3u_n+4} \leqslant 4 \quad \text{c'est-à-dire} \quad 2 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4 \]
En particulier \(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(0 \leqslant u_n \leqslant 4\).
L'hérédité a donné \(2 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\), plus fort que ce qu'on visait (\(0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 4\)). Aucun problème : un encadrement plus fort implique l'encadrement demandé — il suffit de l'écrire (« en particulier… »). Beaucoup d'élèves paniquent ici en croyant s'être trompés. Non : la démonstration vous offre mieux que demandé, prenez-le.
2. Monotonie
On démontre par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(u_{n+1} \geqslant u_n\). Notons \(Q(n)\) cette propriété.
Initialisation
\(u_1 = \sqrt{3 \times 0 + 4} = 2\) et \(u_0 = 0\) : on a bien \(u_1 \geqslant u_0\). Donc \(Q(0)\) est vraie.
Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \(u_{n+1} \geqslant u_n\) (hypothèse de récurrence). Alors \(3u_{n+1} + 4 \geqslant 3u_n + 4\), et ces deux quantités sont positives (d'après la question 1). La racine carrée étant croissante sur \([0\,;+\infty[\) :
\[ \sqrt{3u_{n+1}+4} \geqslant \sqrt{3u_n+4} \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_{n+2} \geqslant u_{n+1} \]
Donc \(Q(n+1)\) est vraie.
Conclusion
D'après le principe de récurrence, \(u_{n+1} \geqslant u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : la suite \((u_n)\) est croissante.
3. Convergence
La suite \((u_n)\) est croissante (question 2) et majorée par \(4\) (question 1) : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge.
Encadrement (récurrence) → monotonie (récurrence) → convergence (théorème de la limite monotone). Ces trois questions forment un bloc standard qui tombe presque chaque année sous une forme ou une autre. Le jour où vous reconnaissez le bloc dès la lecture de l'énoncé, l'exercice est gagné avant d'avoir posé un calcul.
L'inégalité de Bernoulli
Niveau : démonstration exigibleSoit \(a\) un réel positif. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) :
\[ (1+a)^n \geqslant 1 + na \]
Voir le corrigé rédigé
C'est une démonstration exigible du programme : elle peut tomber telle quelle. Signal : une inégalité dépendant de \(n\), sans suite définie par récurrence apparente — mais \((1+a)^{n+1} = (1+a)^n(1+a)\) fournit le lien entre rangs. La subtilité de l'exercice n'est pas le calcul : c'est la gestion du signe au moment de multiplier une inégalité.
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(P(n)\) la propriété : « \((1+a)^n \geqslant 1 + na\) ».
Initialisation
Pour \(n = 0\) : \((1+a)^0 = 1\) et \(1 + 0 \times a = 1\). On a bien \(1 \geqslant 1\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Supposons \((1+a)^n \geqslant 1 + na\) (hypothèse de récurrence). Montrons que \((1+a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a\).
Comme \(a \geqslant 0\), on a \(1 + a > 0\) : on peut donc multiplier les deux membres de l'hypothèse de récurrence par \((1+a)\) sans changer le sens de l'inégalité :
\[ (1+a)^{n+1} = (1+a)^n(1+a) \geqslant (1+na)(1+a) \]
Développons le membre de droite :
\[ (1+na)(1+a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2 \]
Or \(na^2 \geqslant 0\), donc \(1 + (n+1)a + na^2 \geqslant 1 + (n+1)a\). Par transitivité :
\[ (1+a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a \]
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \((1+a)^n \geqslant 1 + na\).
Toute la démonstration repose sur une ligne : « \(1+a > 0\), donc la multiplication conserve le sens de l'inégalité ». Omettez-la, et le correcteur considère — à raison — que vous avez multiplié à l'aveugle. C'est exactement le genre de justification qui sépare une copie à 12 d'une copie à 17 : le calcul est identique, la conscience du calcul ne l'est pas.
Cette inégalité n'est pas décorative : c'est l'outil du cours pour démontrer que \(q^n \to +\infty\) quand \(q > 1\) (poser \(q = 1+a\) avec \(a>0\), et comparer avec \(1+na \to +\infty\)). Une démonstration exigible en cache souvent une autre.
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07Questions fréquentes
Quand utiliser le raisonnement par récurrence ?
Dès que les deux signaux sont réunis : une propriété à démontrer « pour tout entier naturel \(n\) », et une relation qui relie le rang \(n\) au rang \(n+1\) (le plus souvent \(u_{n+1} = f(u_n)\)). Formes typiques au BAC : formule explicite d'une suite, encadrement, monotonie, inégalité dépendant de \(n\), divisibilité (maths expertes).
Pourquoi l'initialisation est-elle indispensable ?
Parce que l'hérédité ne prouve qu'une implication, jamais un fait. Une propriété peut être héréditaire et fausse pour tout \(n\) — comme « \(4^n + 1\) est divisible par 3 ». Sans initialisation, la chaîne logique n'a pas de point de départ, donc pas de contenu.
Faut-il toujours initialiser à \(n = 0\) ?
Non : on initialise au premier rang concerné par l'énoncé. Si la propriété est demandée « pour tout \(n \geqslant 1\) », l'initialisation se fait à \(n = 1\). Lire l'énoncé prime sur l'habitude — c'est une source classique de points perdus bêtement.
Quelle est la différence entre « pour tout \(n\) » et « soit \(n\) » dans l'hérédité ?
« Soit \(n \in \mathbb{N}\), supposons \(P(n)\) » fixe un rang et suppose la propriété à ce rang seulement — c'est correct. « Supposons \(P(n)\) pour tout \(n\) » suppose la conclusion entière — c'est une faute logique qui invalide la démonstration.
La récurrence tombe-t-elle vraiment au BAC ?
Oui, très régulièrement, presque toujours dans l'exercice sur les suites : encadrement ou formule explicite en première question, puis monotonie et convergence. L'inégalité de Bernoulli fait partie des démonstrations exigibles du programme de Terminale spécialité.