Fiche de méthode · Terminale spécialité
Suites en Terminale : 5 exercices corrigés pour préparer le contrôle.
Récurrence, limites et formes indéterminées, suite arithmético-géométrique, suite \(u_{n+1}=f(u_n)\) et convergence monotone : tout le chapitre en cinq exercices, avec la rédaction attendue et les pièges qui coûtent des points.
L'essentiel du cours avant le contrôle
- Récurrence. Initialisation (\(P(n_0)\) vraie), hérédité (si \(P(n)\) est vraie pour un \(n\geqslant n_0\) fixé, alors \(P(n+1)\) l'est), conclusion.
- Suites de référence. Arithmétique : \(u_n=u_0+nr\). Géométrique : \(u_n=u_0\,q^n\).
- Variations. Signe de \(u_{n+1}-u_n\) ; ou, si \(u_n\gt0\), comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) ; ou étudier \(f\) si \(u_n=f(n)\) ; ou récurrence.
- Formes indéterminées. \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac00\). On factorise par le terme prépondérant, ou on multiplie par la quantité conjuguée.
- Comparaison et gendarmes. Si \(u_n\leqslant v_n\) et \(u_n\to+\infty\), alors \(v_n\to+\infty\). Si \(v_n\leqslant u_n\leqslant w_n\) avec \(v_n\) et \(w_n\) de même limite \(\ell\), alors \(u_n\to\ell\).
- Suites \(q^n\). Si \(q\gt1\), \(q^n\to+\infty\) ; si \(-1\lt q\lt1\), \(q^n\to0\) ; si \(q\leqslant-1\), pas de limite.
- Convergence monotone. Croissante et majorée, ou décroissante et minorée : la suite converge. Croissante non majorée : elle tend vers \(+\infty\).
- Théorème du point fixe. Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) avec \(f(I)\subset I\), si \(u_0\in I\), \(u_{n+1}=f(u_n)\) et si \((u_n)\) converge vers \(\ell\in I\), alors \(f(\ell)=\ell\) : la limite est à chercher parmi les solutions de \(f(x)=x\).
Exercice 1 · Les trois formes de la récurrence
- Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=u_n+2n+3\). a) Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et conjecturer une expression de \(u_n\). b) Démontrer cette conjecture par récurrence.
- Démontrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(3^n\geqslant1+2n\).
- Démontrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(7^n-1\) est divisible par \(6\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 1
1. a) Calculer, puis conjecturer
\(u_1=1+0+3=4\), \(u_2=4+2+3=9\), \(u_3=9+4+3=16\). On reconnaît les carrés : on conjecture \(u_n=(n+1)^2\).
On écrit \(P(n)\) en toutes lettres, puis initialisation, hérédité, conclusion. Dans l'hérédité, on part de ce qu'on connaît (\(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\)) et on utilise l'hypothèse de récurrence : si on ne s'en sert pas, la rédaction est fausse.
1. b) La démonstration
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note \(P(n)\) : « \(u_n=(n+1)^2\) ».
Initialisation. \(u_0=1=(0+1)^2\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\in\mathbb N\) tel que \(u_n=(n+1)^2\). Alors
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n=(n+1)^2\).
2. Une inégalité
\(P(n)\) : « \(3^n\geqslant1+2n\) ». Initialisation : \(3^0=1\geqslant1\). Hérédité : si \(3^n\geqslant1+2n\), on multiplie par \(3\gt0\) : \(3^{n+1}\geqslant3+6n\). Or on veut \(3^{n+1}\geqslant1+2(n+1)=3+2n\). Comme \(n\geqslant0\), \(6n\geqslant2n\), donc \(3+6n\geqslant3+2n\), et par transitivité \(3^{n+1}\geqslant3+2n\).
On ne « tombe » pas pile sur le but. On obtient \(3+6n\), plus grand que ce qu'on veut : il reste un deuxième chaînon à justifier (\(6n\geqslant2n\) car \(n\geqslant0\)). L'oublier coûte des points.
3. Une divisibilité
\(P(n)\) : « il existe un entier \(k\) tel que \(7^n-1=6k\) ». Initialisation : \(7^0-1=0=6\times0\). Hérédité : si \(7^n=6k+1\), alors
Comme \(7k+1\) est un entier, \(P(n+1)\) est vraie.
« \(A\) est divisible par \(6\) » s'écrit « il existe un entier \(k\) tel que \(A=6k\) ». À la fin, on exhibe le nouvel entier (\(7k+1\)) et on dit qu'il est entier.
Exercice 2 · Limites : lever les indéterminations
Déterminer la limite de chaque suite.
Voir la correction détaillée de l'exercice 2
On tente les opérations sur les limites. Si l'on tombe sur une forme indéterminée, on l'écrit, puis on la lève : factoriser par le terme prépondérant (plus haut degré, ou plus grande base), ou quantité conjuguée pour une différence de racines.
Limite de \(a_n\)
Forme \(\frac\infty\infty\). On factorise par \(n^2\) :
Limite de \(b_n\)
Forme \(\infty-\infty\). \(b_n=n(n-3)\), produit de deux suites qui tendent vers \(+\infty\) : \(b_n\to+\infty\).
Limite de \(c_n\)
Forme \(\infty-\infty\). On multiplie par la quantité conjuguée :
« \(+\infty-\infty=0\) » est faux : c'est une forme indéterminée. Ici la limite vaut \(0\), mais pour \(b_n\) la même forme donne \(+\infty\). Seul le calcul tranche.
Limite de \(d_n\)
La plus grande base est \(5\). On factorise par \(5^n\) :
car \(-1\lt\frac25\lt1\) et \(-1\lt\frac35\lt1\).
Limite de \(e_n\) : les gendarmes
\((-1)^n\) n'a pas de limite : on encadre. Comme \(-1\leqslant(-1)^n\leqslant1\) et \(n+1\gt0\) :
Les deux bornes tendent vers \(2\) : par le théorème des gendarmes, \(e_n\to2\).
Limite de \(f_n\) : la comparaison
Pour tout \(n\), \((-1)^n n\geqslant-n\), donc \(f_n\geqslant n^2-n=n(n-1)\). Or \(n(n-1)\to+\infty\). Par théorème de comparaison, \(f_n\to+\infty\).
Limite finie : encadrement des deux côtés (gendarmes). Limite infinie : une seule inégalité suffit, on minore pour \(+\infty\), on majore pour \(-\infty\).
Exercice 3 · Abonnés d'un magazine
En 2026, un magazine compte 50 000 abonnés. Chaque année, 20 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 000 nouveaux abonnés s'inscrivent. On note \(u_n\) le nombre d'abonnés, en milliers, en \(2026+n\) ; ainsi \(u_0=50\).
- Calculer \(u_1\), \(u_2\) et justifier que \(u_{n+1}=0{,}8\,u_n+3\).
- On pose \(v_n=u_n-15\). a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique. b) En déduire \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).
- Étudier le sens de variation de \((u_n)\).
- Déterminer la limite de \((u_n)\) et l'interpréter.
- Que renvoie la fonction Python ci-dessous ? Déterminer cette valeur et l'interpréter.
def seuil():
n = 0
u = 50
while u >= 20:
u = 0.8*u + 3
n = n + 1
return nVoir la correction détaillée de l'exercice 3
1. Modéliser
\(u_1=0{,}8\times50+3=43\) et \(u_2=0{,}8\times43+3=37{,}4\). Perdre 20 % revient à conserver 80 %, donc à multiplier par \(0{,}8\) ; puis on ajoute les 3 milliers de nouveaux abonnés.
2. a) La suite auxiliaire
On calcule \(v_{n+1}\), on remplace \(u_{n+1}\) par son expression, et on fait apparaître \(v_n\) pour obtenir \(v_{n+1}=q\,v_n\) avec \(q\) constant.
\((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}8\) et de premier terme \(v_0=50-15=35\).
D'où vient 15 ? C'est la solution de \(\ell=0{,}8\,\ell+3\) : la valeur qui ne bouge plus d'une année sur l'autre.
2. b) Formule explicite
\(v_n=35\times0{,}8^n\), donc \(u_n=15+35\times0{,}8^n\). On vérifie : \(u_1=15+28=43\).
3. Variations
La suite est strictement décroissante.
4. Limite
\(-1\lt0{,}8\lt1\), donc \(0{,}8^n\to0\) et \(u_n\to15\). À long terme, le nombre d'abonnés se stabilise autour de 15 000.
Écrire \(u_n=50\times0{,}8^n+3\) : \((u_n)\) n'est pas géométrique. On repasse par \((v_n)\), sans oublier d'ajouter 15 à la fin.
5. L'algorithme de seuil
La boucle tourne tant que \(u\geqslant20\) : la fonction renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\lt20\). À la calculatrice, \(u_8\approx20{,}87\) et \(u_9\approx19{,}70\) : elle renvoie \(9\). Les abonnés passeront sous la barre des 20 000 en 2035.
La fonction renvoie un rang, pas un terme : répondre « 19,70 » est faux. Et l'interprétation traduit le rang en année.
Exercice 4 · Une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\)
Soit \(f(x)=\sqrt{3x+4}\) sur \([0;+\infty[\), et \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
- Construire \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) sur l'axe des abscisses. Conjecturer le sens de variation et la limite.
- Démontrer que \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\).
- Démontrer par récurrence que \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4\).
- En déduire que \((u_n)\) converge.
- a) Montrer que \(4-u_{n+1}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}}\), puis \(4-u_{n+1}\leqslant\frac34(4-u_n)\). b) En déduire \(0\leqslant4-u_n\leqslant4\left(\frac34\right)^n\) et la limite de \((u_n)\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 4
1. La construction en escalier
On part de \(u_0\) sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe : l'ordonnée obtenue est \(u_1=f(u_0)\). On la reporte sur l'axe des abscisses grâce à la droite \(y=x\), et on recommence.
Conjecture : \((u_n)\) est croissante et converge vers \(4\).
2. Croissance de \(f\)
\(x\mapsto3x+4\) est croissante et positive, et la racine carrée est croissante : par composition, \(f\) est croissante. Ou encore : \(f'(x)=\dfrac3{2\sqrt{3x+4}}\gt0\).
3. L'encadrement par récurrence
On écrit \(a\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant b\), on applique \(f\) à chaque membre : comme \(f\) est croissante, l'ordre est conservé. On calcule \(f(a)\) et \(f(b)\), et on conclut.
On note \(P(n)\) : « \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4\) ».
Initialisation. \(u_0=0\), \(u_1=\sqrt4=2\) : \(0\leqslant0\leqslant2\leqslant4\).
Hérédité. Si \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4\), comme \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\) :
Donc \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Pour tout \(n\), \(0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4\).
4. Convergence
\((u_n)\) est croissante et majorée par \(4\) : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
Ce théorème dit que la suite converge, pas vers quoi. Majorée par \(4\), elle l'est aussi par \(10\) : un majorant n'est pas la limite.
\(f\) est continue sur \(I=[0;4]\), avec \(f(I)\subset I\) (car \(f\) est croissante, \(f(0)=2\) et \(f(4)=4\)), et tous les \(u_n\) sont dans \(I\), donc la limite \(\ell\) aussi. D'après le théorème du point fixe, \(f(\ell)=\ell\) :
Donc \((u_n)\) tend vers \(4\). La question 5 retrouve ce résultat sans le théorème, et donne en plus la vitesse de convergence.
5. a) Quantité conjuguée
Comme \(u_{n+1}^2=3u_n+4\) :
Or \(4-u_n\geqslant0\) et \(4+u_{n+1}\geqslant4\), d'où \(4-u_{n+1}\leqslant\frac34(4-u_n)\).
5. b) La limite
Par récurrence : pour \(n=0\), \(4-u_0=4=4\left(\frac34\right)^0\). Si \(0\leqslant4-u_n\leqslant4\left(\frac34\right)^n\), alors
Comme \(-1\lt\frac34\lt1\), \(4\left(\frac34\right)^n\to0\). Par les gendarmes, \(4-u_n\to0\), donc \(u_n\to4\) : la conjecture est démontrée.
Exercice 5 · Vrai ou faux ? Justifier
- Une suite croissante tend vers \(+\infty\).
- Une suite croissante et majorée par \(2\) converge vers \(2\).
- Une suite bornée est convergente.
- Une suite croissante et non majorée tend vers \(+\infty\).
- Si \(u_n\leqslant v_n\) pour tout \(n\) et \(u_n\to+\infty\), alors \(v_n\to+\infty\).
- Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(u_n\gt0\) pour tout \(n\), alors \(\ell\gt0\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 5
Faux : un seul contre-exemple, explicite et vérifié. Vrai : on cite le théorème du cours qui s'applique. « Faux, car ce n'est pas toujours le cas » ne rapporte aucun point.
1. Faux. \(u_n=-\frac1{n+1}\) est croissante mais tend vers \(0\).
2. Faux. \(u_n=1-\frac1{n+1}\) est croissante, majorée par \(2\), et tend vers \(1\).
3. Faux. \(u_n=(-1)^n\) est bornée mais alterne entre \(1\) et \(-1\) : pas de limite.
4. Vrai. Théorème du cours. Pour tout réel \(A\), il existe \(N\) tel que \(u_N\gt A\), et par croissance \(u_n\gt A\) pour tout \(n\geqslant N\).
5. Vrai. C'est le théorème de comparaison.
6. Faux. \(u_n=\frac1{n+1}\gt0\) mais tend vers \(0\).
Le passage à la limite transforme les inégalités strictes en inégalités larges : on peut seulement conclure \(\ell\geqslant0\).
Les 6 réflexes du contrôle sur les suites
- Récurrence : écrire \(P(n)\) en toutes lettres, et utiliser l'hypothèse dans l'hérédité.
- Inégalité par récurrence : justifier le dernier chaînon (ex. \(6n\geqslant2n\)).
- Forme indéterminée : l'écrire, puis factoriser par le terme prépondérant ou conjuguer.
- Limite finie : gendarmes (deux inégalités). Limite infinie : comparaison (une seule).
- Arithmético-géométrique : \(v_n=u_n-\ell\), avec \(\ell=a\ell+b\), est géométrique.
- Convergence monotone : elle prouve que la suite converge ; la limite vient ensuite du point fixe \(f(\ell)=\ell\).
Questions fréquentes
Comment réviser un contrôle sur les suites en Terminale ?
Quelle est l'erreur la plus fréquente dans une récurrence ?
Le théorème de convergence monotone donne-t-il la limite ?
Ces exercices préparent-ils au bac ?
Les suites bloquent encore ? On les reprend en groupe.
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