Fiche de méthode · Rentrée de Seconde
Les bases du calcul en Seconde : 5 exercices corrigés de méthode.
Fractions, puissances, racines carrées, identités remarquables, développer et factoriser : tout ce que la Seconde suppose acquis en Troisième, repris pas à pas, puis réuni dans un problème. Sans calculatrice, avec la rédaction attendue.
L'essentiel du cours avant de commencer
- Fractions. On additionne au même dénominateur : \(\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\). On multiplie en haut et en bas : \(\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\). Diviser, c'est multiplier par l'inverse : \(\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc\).
- Priorités. Parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
- Puissances (\(a\neq0\)). \(a^n\times a^m=a^{n+m}\), \(\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\), \((a^n)^m=a^{nm}\), \((ab)^n=a^nb^n\), \(a^0=1\), \(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\). Écriture scientifique : \(a\times10^n\) avec \(1\leqslant a\lt 10\).
- Racines carrées (\(a,b\geqslant0\)). \((\sqrt a)^2=a\), \(\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\), \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\). Mais \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\).
- Développer : transformer un produit en somme. \(k(a+b)=ka+kb\) et \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
- Identités remarquables. \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
- Factoriser : transformer une somme en produit. D'abord un facteur commun \(ka+kb=k(a+b)\), sinon une identité remarquable lue de droite à gauche.
Exercice 1 · Fractions et priorités
Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible, sans calculatrice.
Voir la correction détaillée de l'exercice 1
- Repérer les priorités avant de calculer : une multiplication passe avant une addition.
- Addition, soustraction : même dénominateur, en prenant le plus petit multiple commun.
- Multiplication, division : simplifier avant de multiplier, en décomposant les nombres.
- Toujours finir par une fraction irréductible.
Calcul de \(A\)
Les dénominateurs \(3\), \(6\) et \(4\) divisent tous \(12\) : on met tout sur \(12\).
Calcul de \(B\)
Parenthèse d'abord : \(\dfrac34-\dfrac16=\dfrac9{12}-\dfrac2{12}=\dfrac7{12}\). Puis \(B=\dfrac7{12}\times\dfrac{12}7=1\). Inutile de calculer \(7\times12\) : on simplifie directement.
Calcul de \(C\) (fraction « à étages »)
On calcule séparément le haut et le bas, puis on divise : \(1+\dfrac13=\dfrac43\) et \(2-\dfrac56=\dfrac{12}6-\dfrac56=\dfrac76\).
Calcul de \(D\)
Calculer de gauche à droite : \(\left(\dfrac53-\dfrac23\right)\times\dfrac74=\dfrac74\). Faux : la multiplication est prioritaire.
\(\dfrac23\times\dfrac74=\dfrac{2\times7}{3\times2\times2}=\dfrac76\), donc \(D=\dfrac{10}6-\dfrac76=\dfrac36=\dfrac12\).
Calcul de \(E\)
\(E=\dfrac{21}{15}\times\dfrac{25}{14}=\dfrac{3\times7\times5\times5}{3\times5\times2\times7}=\dfrac52\).
On a décomposé chaque nombre avant de multiplier : les facteurs \(3\), \(5\) et \(7\) disparaissent immédiatement.
Exercice 2 · Puissances
- Écrire sous la forme d'une puissance, puis calculer : \(A=\dfrac{2^5\times2^{-3}}{2^4}\), \(B=\left(3^2\right)^3\times3^{-4}\), \(C=\dfrac{10^3\times10^{-5}}{10^{-4}}\).
- Donner l'écriture scientifique de \(D=\dfrac{6\times10^5\times4\times10^{-3}}{8\times10^{-2}}\).
- Simplifier, pour \(a\) et \(b\) non nuls : \(E=\left(a^3b^{-2}\right)^2\times a^{-4}b^5\).
- Vrai ou faux ? Justifier. a) \(-2^4=16\) b) \(2^3+2^3=2^6\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 2
- Ne regrouper que des puissances de même base.
- D'abord les parenthèses \((a^n)^m=a^{nm}\), puis les produits (on additionne les exposants), puis les quotients (on soustrait l'exposant du bas).
- Bien gérer les signes des exposants : \(5-(-4)=9\).
1. Puissances d'un même nombre
2. Écriture scientifique
On regroupe les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre.
On a bien \(1\leqslant3\lt 10\) : c'est l'écriture scientifique.
3. Puissances de lettres
\(E=a^{6}b^{-4}\times a^{-4}b^5=a^{6-4}\,b^{-4+5}=a^2b\).
On traite séparément les puissances de \(a\) et celles de \(b\).
4. Vrai ou faux
a) Faux. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur \(2\) : \(-2^4=-16\). En revanche \((-2)^4=16\).
b) Faux. \(2^3+2^3=8+8=16=2^4\), et non \(2^6=64\). En effet \(2^3+2^3=2\times2^3=2^4\).
\(a^n+a^m\) ne se simplifie pas en \(a^{n+m}\). Seul le produit \(a^n\times a^m\) donne \(a^{n+m}\).
Exercice 3 · Racines carrées
- Écrire sous la forme \(a\sqrt b\), avec \(b\) le plus petit possible : \(\sqrt{50}\), \(\sqrt{72}\), \(\sqrt{12}\).
- Calculer et simplifier : \(A=\sqrt{50}-3\sqrt8+\sqrt{18}\), \(B=\sqrt{12}\times\sqrt3\), \(C=\left(2\sqrt3\right)^2\), \(D=\left(3+\sqrt2\right)\left(3-\sqrt2\right)\), \(F=\left(1+\sqrt2\right)^2\).
- Écrire \(E=\dfrac{6}{\sqrt3}\) sans racine carrée au dénominateur.
- Un élève écrit : \(\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}=7\). Où est l'erreur ?
Voir la correction détaillée de l'exercice 3
On cherche le plus grand carré parfait qui divise \(n\) (\(4, 9, 16, 25, 36, 49\)…), puis \(\sqrt{a^2\times b}=a\sqrt b\).
1. Écrire sous la forme \(a\sqrt b\)
\(\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt2\), \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2\), \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3\).
Pour \(\sqrt{72}\), écrire \(\sqrt{4\times18}=2\sqrt{18}\) n'est pas fini : \(18\) contient encore le carré \(9\). D'où l'intérêt de chercher le plus grand carré.
2. Calculs
Somme de racines. On n'ajoute que des racines identiques, comme on ajoute des \(x\) : on écrit d'abord chaque terme avec \(\sqrt2\).
Produits. \(B=\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}=6\) et \(C=2^2\times\left(\sqrt3\right)^2=4\times3=12\).
Avec les identités remarquables. \(D=3^2-\left(\sqrt2\right)^2=9-2=7\) et \(F=1+2\sqrt2+2=3+2\sqrt2\). \(D\) est un entier : c'est ce qui rend \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) si utile avec les racines.
3. Supprimer la racine au dénominateur
On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt3\) : \(E=\dfrac{6\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).
4. L'erreur de l'élève
\(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\), alors que \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\). La règle \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) marche pour les produits, jamais pour les sommes.
\(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). On calcule d'abord ce qui est sous la racine, puis on prend la racine.
Exercice 4 · Développer et factoriser
- Développer et réduire : \(A=(2x+3)^2\), \(B=(5-3x)^2\), \(C=(4x-1)(4x+1)\), \(D=(x+2)(3x-5)-(x-1)^2\).
- Factoriser : \(E=9x^2-25\), \(F=x^2-10x+25\), \(G=(2x+1)(x-3)-(2x+1)(5x+2)\), \(H=(2x-1)^2-16\), \(I=x^2+6x+9-(x+3)(2x-1)\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 4
Identifier \(a\) et \(b\) avant d'écrire quoi que ce soit, puis appliquer la formule terme à terme. Le double produit \(2ab\) est le terme le plus souvent oublié.
1. Développer et réduire
\(A=(2x+3)^2\) : forme \((a+b)^2\) avec \(a=2x\), \(b=3\). \(A=4x^2+12x+9\).
\(B=(5-3x)^2\) : forme \((a-b)^2\) avec \(a=5\), \(b=3x\). \(B=25-30x+9x^2=9x^2-30x+25\).
\(C=(4x-1)(4x+1)\) : forme \((a-b)(a+b)\) avec \(a=4x\), \(b=1\). \(C=16x^2-1\).
\(D\) : on développe chaque morceau entre parenthèses, puis on enlève les parenthèses.
\(-(x-1)^2=-x^2+2x-1\) : le « − » change le signe de tous les termes. Écrire \(-x^2-2x+1\) est l'erreur la plus fréquente de la rentrée.
- Facteur commun visible ? On le met devant : \(ka+kb=k(a+b)\).
- Sinon, deux carrés séparés par « − » : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
- Sinon, trois termes dont deux carrés : \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\), en vérifiant le double produit.
2. Factoriser
\(E\) : \(9x^2=(3x)^2\) et \(25=5^2\), donc \(E=(3x-5)(3x+5)\).
\(F\) : \(x^2\) et \(25=5^2\) sont des carrés, et \(2\times x\times5=10x\) est bien le double produit : \(F=(x-5)^2\).
\(G\) : le facteur commun est \((2x+1)\).
\(G=(2x+1)\big[(x-3)-(5x+2)\big]=(2x+1)(x-3-5x-2)=(2x+1)(-4x-5)\).
On peut aussi écrire \(G=-(2x+1)(4x+5)\). Attention aux crochets : le « − » s'applique à tout \((5x+2)\).
\(H\) : forme \(a^2-b^2\) avec \(a=2x-1\) et \(b=4\).
\(I\) : pas de facteur commun visible… mais \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Le facteur commun apparaît :
À retenir. Quand rien n'est visible, chercher une identité remarquable cachée dans une partie de l'expression.
Exercice 5 · Problème : le bassin du jardin
Un terrain carré a pour côté \((x+4)\) mètres, où \(x\) est un nombre positif. Dans un coin, on creuse un bassin carré de \(3\) mètres de côté. On note \(\mathcal A(x)\) l'aire, en m², de la partie restante (en gris).
- Justifier que \(\mathcal A(x)=(x+4)^2-9\).
- Développer et réduire \(\mathcal A(x)\).
- Factoriser \(\mathcal A(x)\).
- En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée, calculer \(\mathcal A(2)\), puis \(\mathcal A\big(\sqrt2\big)\).
- Déterminer \(x\) pour que l'aire restante soit égale à \(40\) m².
- Avec cette valeur de \(x\), on recouvre la partie restante de dalles carrées de \(25\) cm de côté. Combien faut-il de dalles ?
Voir la correction détaillée de l'exercice 5
Une expression peut s'écrire sous plusieurs formes égales. On choisit celle qui rend la question la plus simple : la forme développée pour calculer une image avec une racine, la forme factorisée pour calculer vite ou résoudre « = 0 », la forme de départ \((\dots)^2-9\) quand l'équation ne fait intervenir que ce carré.
1. Expression de l'aire
L'aire du terrain est \((x+4)^2\) et celle du bassin est \(3^2=9\). L'aire restante est donc \(\mathcal A(x)=(x+4)^2-9\).
2. Forme développée
3. Forme factorisée
\(\mathcal A(x)=(x+4)^2-3^2\) est de la forme \(a^2-b^2\) avec \(a=x+4\) et \(b=3\) :
Contrôle : \((x+1)(x+7)=x^2+8x+7\), on retrouve la forme développée.
4. Calculs d'aires
\(\mathcal A(2)\) : la forme factorisée donne le résultat en une ligne, \((2+1)(2+7)=3\times9=27\) m².
\(\mathcal A\big(\sqrt2\big)\) : avec la forme développée, \(\big(\sqrt2\big)^2=2\) disparaît tout de suite : \(2+8\sqrt2+7=9+8\sqrt2\) m².
5. Aire égale à 40 m²
La forme de départ est la plus adaptée, car \(x\) n'y apparaît qu'une fois.
\(\mathcal A(x)=40\iff(x+4)^2-9=40\iff(x+4)^2=49\).
Comme \(x\geqslant0\), \(x+4\gt 0\), donc \(x+4=\sqrt{49}=7\), c'est-à-dire \(x=3\). Le terrain mesure alors \(7\) m de côté.
Remarque : \(x+4=-7\) donnerait \(x=-11\), impossible ici car \(x\) est positif.
6. Nombre de dalles
Une dalle mesure \(25\) cm \(=\dfrac14\) m de côté : son aire est \(\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac1{16}\) m². Il faut donc \(40\div\dfrac1{16}=40\times16=640\) dalles.
Vérification astucieuse. En dalles, le terrain mesure \(28\) dalles de côté et le bassin \(12\). Le nombre de dalles est \(28^2-12^2=(28-12)(28+12)=16\times40=640\) : même résultat, cette fois avec l'identité \(a^2-b^2\).
Les 6 réflexes de la rentrée en Seconde
- Priorités d'abord : repérer les multiplications avant de calculer de gauche à droite.
- Simplifier avant de multiplier des fractions, en décomposant les nombres.
- Puissances : les règles valent pour les produits de même base, jamais pour les sommes.
- Racines : \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) oui, \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) non.
- Développer : identifier \(a\) et \(b\), ne pas oublier le double produit, protéger par des parenthèses ce qui suit un « − ».
- Factoriser : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite, et choisir la forme adaptée à la question.
Questions fréquentes
Que faut-il savoir en calcul en arrivant en Seconde ?
Comment savoir s'il faut développer ou factoriser ?
Quelle est l'erreur la plus fréquente sur les identités remarquables ?
Ces exercices sont-ils utiles pour l'épreuve anticipée de Première ?
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