Remise à niveau Analyse · Module 4 sur 10

Factoriser : la méthode en 4 cas et 13 exercices corrigés.

Factoriser, c’est l’inverse de développer : transformer une somme en produit. C’est la compétence qui débloque tout le reste, car un produit se résout (« un produit est nul si… ») et s’étudie en signe (tableau de signes). La difficulté n’est pas le calcul : c’est de savoir quelle méthode utiliser. Ce module te donne un ordre fixe à suivre.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 21 octobre 2026 · Durée : 1 h 30 · Prérequis : modules 2 et 3

Commencer l’exercice 1 →Revoir le cours d’abord

L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : le facteur commun en orange, ce qui reste surligné.

L’ordre à suivre devant n’importe quelle expression

  1. Y a-t-il un facteur commun visible ? → cas 1.
  2. Peut-on en faire apparaître un ? Un signe à retourner, un nombre à sortir, un « × 1 » caché → cas 2.
  3. Deux carrés séparés par un moins, ou trois termes qui ressemblent à un carré développé ? → identité remarquable, cas 3.
  4. Un trinôme \(ax^2+bx+c\) sans rien de tout ça ? → discriminant \(\Delta\), cas 4.

Et à la fin, toujours : chaque facteur obtenu peut-il encore se factoriser ?

Cas 1. Facteur commun visible : ka + kb = k(a + b)

On repère ce qui est multiplié dans chaque terme, on l’écrit une fois devant, et on met ce qui reste entre crochets.

\[\begin{aligned}&\ca{(x+2)}\cb{(3x-1)}+\ca{(x+2)}\cb{(x+5)}\\&=\ca{(x+2)}\big[\cb{(3x-1)}+\cb{(x+5)}\big]\\&=(x+2)(4x+4)\end{aligned}\]

Puis on regarde si un facteur se factorise encore : \(4x+4=4(x+1)\), donc l’expression vaut \(4(x+2)(x+1)\).

Cas 2. Facteur commun caché : on le fait apparaître

Le « × 1 » invisible. Un facteur seul est multiplié par 1.

\[\begin{aligned}&\ca{(x-3)}\cb{(2x+1)}+\ca{(x-3)}\\&=\ca{(x-3)}\cb{(2x+1)}+\ca{(x-3)}\times\cb1\\&=\ca{(x-3)}(2x+2)\\&=2(x-3)(x+1)\end{aligned}\]

Le nombre à sortir. On factorise d’abord un petit morceau.

\[\begin{aligned}&4x-8+(x-2)(x+5)\\&=4\ca{(x-2)}+\ca{(x-2)}(x+5)\\&=\ca{(x-2)}(x+9)\end{aligned}\]

Le signe à retourner. \((2-x)=-(x-2)\).

Cas 3. Identités remarquables lues à l’envers

Je voisJ’écrisExemple
\(a^2-b^2\)\((a-b)(a+b)\)\(9x^2-25=(\ca{3x})^2-\cb5^2=(3x-5)(3x+5)\)
\(a^2+2ab+b^2\)\((a+b)^2\)\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)
\(a^2-2ab+b^2\)\((a-b)^2\)\(x^2-6x+9=(x-3)^2\)

Pour les trois termes, on vérifie toujours le double produit : dans \(x^2-6x+9\), \(a=x\), \(b=3\), et \(2ab=2\times x\times3=6x\). ✓

\(x^2+25\) ne se factorise pas en \((x+5)(x-5)\) : une somme de deux carrés ne se factorise pas.

Cas 4. Trinôme ax² + bx + c : le discriminant

On calcule \(\Delta=b^2-4ac\).

  • Si \(\Delta>0\) : deux racines \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\), et \(ax^2+bx+c=\ca a(x-x_1)(x-x_2)\).
  • Si \(\Delta=0\) : une racine \(x_0=\dfrac{-b}{2a}\), et \(ax^2+bx+c=\ca a(x-x_0)^2\).
  • Si \(\Delta\lt0\) : pas de factorisation en produit de facteurs du premier degré.

Exemple avec \(2x^2-2x-12\) :

\[\begin{aligned}\Delta&=(-2)^2-4\times2\times(-12)\\&=4+96=100\end{aligned}\]
\[x_1=\frac{2-10}{4}=-2\qquad x_2=\frac{2+10}{4}=3\]
\[2x^2-2x-12=\ca2(x-3)(x+2)\]

Oublier le coefficient \(a\) devant : \((x-3)(x+2)=x^2-x-6\), ce n’est pas \(2x^2-2x-12\). Le module 6 reprend le discriminant en détail.

Les exercices

Pour chaque exercice, commence par dire quel cas tu utilises. C’est la moitié du travail.

Exercice 1 · Facteur commun simple

Niveau ★★★ Réflexe

Factoriser \(A=6x^2+9x\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Un produit.

Méthode

Cas 1. On cherche ce qui est commun aux deux termes : dans les nombres (le plus grand diviseur commun de 6 et 9) et dans les lettres.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 6x^2=\ca{3x}\times\cb{2x}\)
6 = 3 × 2 et \(x^2=x\times x\).
\(\displaystyle 9x=\ca{3x}\times\cb3\)
9 = 3 × 3.
\(\displaystyle A=\ca{3x}(\cb{2x}+\cb3)\)
On écrit le facteur commun une fois, devant.
Piège classique

Écrire \(x(6x+9)\) : c’est juste, mais pas complet. Le 3 est encore commun à \(6x\) et \(9\). Une factorisation incomplète perd des points.

Contrôle. On redéveloppe : \(3x\times2x+3x\times3=6x^2+9x\) ✓. Toujours redévelopper pour vérifier une factorisation.

Exercice 2 · Facteur commun entre parenthèses

Niveau ★★★ Réflexe

Factoriser \(B=(x+1)(2x-5)+(x+1)(x+3)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Un produit de deux facteurs du premier degré.

Méthode

Cas 1. Le facteur commun est la parenthèse entière \((x+1)\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle B=\ca{(x+1)}\big[\cb{(2x-5)}+\cb{(x+3)}\big]\)
On écrit \((x+1)\) une fois, ce qui reste va dans le crochet.
\(\displaystyle =\ca{(x+1)}(2x-5+x+3)\)
Un plus devant la parenthèse : aucun signe ne change.
\(\displaystyle =(x+1)(3x-2)\)
On réduit : \(2x+x=3x\) et \(-5+3=-2\).
Piège classique

Développer tout pour « y voir plus clair ». On obtient un trinôme bien plus dur à factoriser ensuite. Si un facteur commun est visible, on ne développe pas.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(B=1\times(-5)+1\times3=-2\) et \((0+1)(0-2)=-2\) ✓.

Exercice 3 · Facteur commun avec un moins

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(C=(2x+3)(x-1)-(2x+3)(4x+5)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Un produit, le plus simple possible.

Méthode

Cas 1, facteur \((2x+3)\). Mais il y a un moins devant le second terme : dans le crochet, la seconde parenthèse est précédée d’un moins, il faudra changer tous ses signes.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle C=\ca{(2x+3)}\big[\cb{(x-1)}-\cb{(4x+5)}\big]\)
Le moins reste devant la seconde parenthèse.
\(\displaystyle =\ca{(2x+3)}(x-1-4x-5)\)
Le moins change \(+4x\) en \(-4x\) et \(+5\) en \(-5\).
\(\displaystyle =(2x+3)(-3x-6)\)
\(x-4x=-3x\) et \(-1-5=-6\).
\(\displaystyle =(2x+3)\times\ca{(-3)}(x+2)=-3(2x+3)(x+2)\)
On vérifie si un facteur se factorise encore : \(-3x-6=-3(x+2)\).
Piège classique

Écrire \((x-1-4x+5)\) : seul le \(4x\) a changé de signe. C’est l’erreur numéro un de la factorisation.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(C=3\times(-1)-3\times5=-18\) et \(-3\times3\times2=-18\) ✓.

Exercice 4 · Un carré qui cache le facteur

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(D=(x-4)^2+(x-4)(2x+1)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un produit.

Méthode

Cas 2. Un carré est un produit : \((x-4)^2=(x-4)(x-4)\). Le facteur commun \((x-4)\) apparaît alors.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle D=\ca{(x-4)}\cb{(x-4)}+\ca{(x-4)}\cb{(2x+1)}\)
On écrit le carré comme un produit.
\(\displaystyle =\ca{(x-4)}\big[\cb{(x-4)}+\cb{(2x+1)}\big]\)
Facteur commun.
\(\displaystyle =(x-4)(3x-3)\)
On réduit le crochet.
\(\displaystyle =3(x-4)(x-1)\)
\(3x-3=3(x-1)\) : on termine la factorisation.
Piège classique

Développer \((x-4)^2\) en \(x^2-8x+16\) : on détruit le facteur commun qu’on avait sous les yeux.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(D=16+(-4)\times1=12\) et \(3\times(-4)\times(-1)=12\) ✓.

Exercice 5 · Le × 1 invisible

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(E=(3x-1)+(3x-1)(x+2)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Un produit.

Méthode

Cas 2. Le premier terme \((3x-1)\) est seul : il est multiplié par 1. On l’écrit pour ne pas l’oublier.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle E=\ca{(3x-1)}\times\cb1+\ca{(3x-1)}\cb{(x+2)}\)
On fait apparaître le 1.
\(\displaystyle =\ca{(3x-1)}\big[\cb1+\cb{(x+2)}\big]\)
Facteur commun.
\(\displaystyle =(3x-1)(x+3)\)
\(1+2=3\).
Piège classique

Écrire \((3x-1)(x+2)\) en « oubliant » le premier terme, ou mettre 0 à la place du 1 dans le crochet. Un terme qui « disparaît » en factorisant laisse toujours un 1.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(E=-1+(-1)\times2=-3\) et \((-1)\times3=-3\) ✓.

Exercice 6 · Différence de deux carrés

Niveau ★★★ Réflexe

Factoriser a) \(F=x^2-36\) b) \(G=16x^2-9\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Des produits de deux facteurs.

Méthode

Cas 3. Deux carrés séparés par un moins : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). On commence par écrire chaque terme comme un carré.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle F=\ca{x}^2-\cb6^2\)
a) \(36=6^2\).
\(\displaystyle F=(x-6)(x+6)\)
\(\displaystyle G=(\ca{4x})^2-\cb3^2\)
b) \(16x^2=(4x)^2\) et \(9=3^2\).
\(\displaystyle G=(4x-3)(4x+3)\)
Piège classique

b) Écrire \((16x-9)(16x+9)\) ou \((4x-9)(4x+9)\) : on n’a pas pris les racines de chaque carré.

Contrôle. b) On redéveloppe : \((4x)^2-3^2=16x^2-9\) ✓.

Exercice 7 · Carré d’une somme ou d’une différence

Niveau ★★★ Réflexe

Factoriser a) \(H=x^2+10x+25\) b) \(I=4x^2-12x+9\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Des carrés \((a\pm b)^2\).

Méthode

Cas 3. Trois termes dont deux carrés positifs aux extrémités : on teste \(a^2\pm2ab+b^2\) et on vérifie le double produit.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle H:\ a^2=x^2,\ b^2=25\Rightarrow a=\ca x,\ b=\cb5\)
a) On identifie \(a\) et \(b\).
\(\displaystyle 2ab=2\times x\times5=10x\ ✓\)
Le terme du milieu correspond.
\(\displaystyle H=(x+5)^2\)
Signe \(+\) au milieu, donc \((a+b)^2\).
\(\displaystyle I:\ a=\ca{2x},\ b=\cb3,\ 2ab=12x\ ✓\)
b) \(4x^2=(2x)^2\) et \(9=3^2\).
\(\displaystyle I=(2x-3)^2\)
Signe \(-\) au milieu, donc \((a-b)^2\).
Piège classique

Conclure sans vérifier le double produit. \(x^2+5x+25\) ressemble à \(H\), mais \(2\times x\times5=10x\neq5x\) : ce n’est pas une identité remarquable.

Contrôle. b) \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\) ✓.

Exercice 8 · Différence de carrés avec une parenthèse

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(J=(x+2)^2-9\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Un produit de deux facteurs du premier degré.

Méthode

Cas 3. \(a^2-b^2\) avec \(a=(x+2)\) : \(a\) peut être une parenthèse entière.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle J=\ca{(x+2)}^2-\cb3^2\)
\(9=3^2\).
\(\displaystyle =\big[\ca{(x+2)}-\cb3\big]\big[\ca{(x+2)}+\cb3\big]\)
On applique \((a-b)(a+b)\).
\(\displaystyle =(x-1)(x+5)\)
On réduit chaque crochet : \(2-3=-1\) et \(2+3=5\).
Piège classique

Développer \((x+2)^2\) puis chercher à factoriser \(x^2+4x-5\). Ça marche (avec \(\Delta\)), mais c’est trois fois plus long.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(J=4-9=-5\) et \((-1)\times5=-5\) ✓.

Exercice 9 · Différence de deux carrés de parenthèses

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(K=(2x+1)^2-(x-3)^2\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 9
Ce qu’on cherche

Un produit.

Méthode

Cas 3 avec \(a=(2x+1)\) et \(b=(x-3)\). Le moins devant \(b\) dans le premier crochet change ses signes.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle K=\big[\ca{(2x+1)}-\cb{(x-3)}\big]\big[\ca{(2x+1)}+\cb{(x-3)}\big]\)
\((a-b)(a+b)\).
\(\displaystyle \ca{(2x+1)}-\cb{(x-3)}=2x+1-x+3=x+4\)
Le moins change \(-3\) en \(+3\).
\(\displaystyle \ca{(2x+1)}+\cb{(x-3)}=3x-2\)
\(\displaystyle K=(x+4)(3x-2)\)
Piège classique

Écrire \(2x+1-x-3=x-2\) dans le premier crochet : le signe de \(-3\) n’a pas changé.

Contrôle. C’est exactement le résultat de l’exercice 11 du module 3, obtenu cette fois dans l’autre sens.

Exercice 10 · Avec le discriminant

Niveau ★★★ Application

Factoriser, si possible : a) \(L=x^2-5x+6\) b) \(M=2x^2+x-1\) c) \(N=x^2+x+1\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 10
Ce qu’on cherche

Des produits, ou la preuve que ce n’est pas possible.

Méthode

Cas 4 : pas de facteur commun, pas d’identité remarquable. On calcule \(\Delta=b^2-4ac\) en identifiant d’abord \(a\), \(b\), \(c\) avec leur signe.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle L:\ a=1,\ b=-5,\ c=6\)
a) Identifier les coefficients.
\(\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1\)
\(\Delta>0\) : deux racines.
\(\displaystyle x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3\)
\(-b=5\) et \(\sqrt\Delta=1\).
\(\displaystyle L=(x-2)(x-3)\)
\(a=1\), donc rien devant.
\(\displaystyle M:\ a=\ca2,\ b=1,\ c=-1,\ \Delta=1+8=9\)
b) \(-4\times2\times(-1)=+8\).
\(\displaystyle x_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\quad x_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12\)
\(\sqrt9=3\).
\(\displaystyle M=\ca2(x+1)\left(x-\tfrac12\right)=(x+1)(2x-1)\)
On garde le \(a=2\) devant, puis on peut le faire rentrer dans la dernière parenthèse.
\(\displaystyle N:\ \Delta=1^2-4\times1\times1=-3\lt0\)
c) \(\Delta\) négatif.
\(\displaystyle N \text{ ne se factorise pas}\)
Pas de racine réelle, donc pas de factorisation en produit de facteurs du premier degré.
Piège classique

b) Écrire \(M=(x+1)\left(x-\frac12\right)\) en oubliant le 2 devant. En redéveloppant, on obtiendrait \(x^2+\frac12x-\frac12\), la moitié de \(M\).

Contrôle. b) \((x+1)(2x-1)=2x^2-x+2x-1=2x^2+x-1\) ✓.

Exercice 11 · Un signe à retourner

Niveau ★★★ Application

Factoriser \(P=(x-5)(x+2)+(5-x)(3x-1)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 11
Ce qu’on cherche

Un produit.

Méthode

Cas 2. \((x-5)\) et \((5-x)\) ne sont pas identiques, mais ils sont opposés : \(5-x=-(x-5)\). On transforme pour faire apparaître le facteur commun.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle (5-x)=\ca{-}(x-5)\)
On sort un moins : \(-(x-5)=-x+5=5-x\) ✓.
\(\displaystyle P=\ca{(x-5)}(x+2)-\ca{(x-5)}(3x-1)\)
Le plus devant devient un moins.
\(\displaystyle =\ca{(x-5)}\big[(x+2)-(3x-1)\big]\)
Facteur commun.
\(\displaystyle =(x-5)(x+2-3x+1)=(x-5)(-2x+3)\)
Le moins change les signes de \(3x-1\).
Piège classique

Considérer que \((x-5)\) et \((5-x)\) sont « pareils » et factoriser directement : on obtient \((x-5)(4x+1)\), faux.

Contrôle. Avec \(x=0\) : \(P=(-5)\times2+5\times(-1)=-15\) et \((-5)\times3=-15\) ✓.

Exercice 12 · Factoriser pour résoudre, format bac

Niveau ★★★ Format bac

Soit \(Q=(x-1)(x+3)-2(x^2-1)\). Factoriser \(Q\), puis résoudre l’équation \(Q=0\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 12
Ce qu’on cherche

Une forme factorisée, puis les solutions de \(Q=0\).

Méthode

Pas de facteur commun visible. Mais \(x^2-1\) est une différence de carrés (cas 3) qui cache le facteur \((x-1)\) (cas 2). On combine les deux.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)\)
Identité \(a^2-b^2\) avec \(a=x\), \(b=1\).
\(\displaystyle Q=\ca{(x-1)}(x+3)-2\ca{(x-1)}(x+1)\)
Le facteur \((x-1)\) apparaît deux fois.
\(\displaystyle =\ca{(x-1)}\big[(x+3)-2(x+1)\big]\)
Facteur commun.
\(\displaystyle =(x-1)(x+3-2x-2)=(x-1)(-x+1)\)
Le \(-2\) se distribue à toute la parenthèse \((x+1)\).
\(\displaystyle -x+1=-(x-1)\Rightarrow Q=-(x-1)^2\)
On repère encore un signe à retourner.
\(\displaystyle Q=0\iff(x-1)^2=0\iff x=1\)
Un carré est nul si et seulement si ce qui est au carré est nul.
Piège classique

Écrire \(-2(x+1)=-2x+2\) dans le crochet : le \(-2\) multiplie aussi le \(+1\), ce qui donne \(-2\).

Contrôle. Avec \(x=1\) : \(Q=0\times4-2\times0=0\) ✓. Avec \(x=0\) : \(Q=-3+2=-1\) et \(-(0-1)^2=-1\) ✓.

Exercice 13 · Factoriser complètement

Niveau ★★★ Format bac

Factoriser complètement \(R=x^3-4x\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 13
Ce qu’on cherche

Un produit de facteurs qu’on ne peut plus factoriser.

Méthode

Factoriser « complètement » veut dire qu’on applique l’ordre à suivre, puis qu’on le réapplique à chaque facteur obtenu.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle R=\ca{x}\times x^2-\ca{x}\times4=\ca x(x^2-4)\)
Cas 1 : \(x\) est commun.
\(\displaystyle x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)\)
On recommence avec \(x^2-4\) : c’est le cas 3.
\(\displaystyle R=x(x-2)(x+2)\)
Les trois facteurs sont du premier degré : c’est terminé.
Piège classique

S’arrêter à \(x(x^2-4)\). C’est une factorisation, mais pas complète : à l’étape de résolution, on raterait les solutions \(2\) et \(-2\).

Contrôle. \(R=0\) pour \(x=0\), \(x=2\) et \(x=-2\). Par exemple \(2^3-4\times2=0\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe au module 5. Sinon, refais les exercices concernés.

Factoriser \(4x^2-1\).
\((2x-1)(2x+1)\) (exercice 6).
Factoriser \((x+3)(x-1)+(x+3)\).
\((x+3)\big[(x-1)+1\big]=x(x+3)\) (exercice 5).
Factoriser \(x^2+4x+4\).
\((x+2)^2\) (exercice 7).
Se faire accompagner

Un corrigé reste flou ? Envoie ta copie.

Une photo de ta copie sur WhatsApp, et je te dis où ça coince. Si les bases manquent partout, les cours en groupe en ligne les reprennent chaque semaine, dès 10 €/h.

Continuer

La suite du parcours.

Module précédent

Développer

Reviens-y si l’auto-test a coincé.

Ouvrir →Module suivant

Équations et signe

Trois bonnes réponses à l’auto-test ? Continue.

Ouvrir →Cours en groupe

Reprendre les bases en groupe

En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

Voir →