Épreuve anticipée de maths · Sujet zéro · Voie technologique
Sujet zéro n° 2 voie technologique : l’énoncé complet et le corrigé détaillé
Le deuxième sujet officiel de l’épreuve anticipée pour les élèves de Première technologique (STMG, STI2D, ST2S, STL…). Fais-le d’abord en conditions réelles, puis ouvre les corrections une par une : pour chaque question, la méthode, la rédaction attendue sur la copie et le piège qui coûte des points.
Sujet officiel publié par le ministère de l’Éducation nationale sur Éduscol, reproduit sous licence ouverte Etalab 2.0. Figures redessinées par Fovéa. Corrigé rédigé par Jimmy, professeur de maths.
2 heures, sans calculatrice, téléphone dans une autre pièce. Corrections fermées.
Vise 20 à 25 minutes pour les 12 automatismes, puis passe aux exercices.
Compare ta copie à la rédaction modèle, ligne par ligne, et note chaque point perdu.
Partie 1 · Automatismes (6 points)
Aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Reporte le numéro de la question et ta réponse sur ta copie.
Un article coûte \(400\) euros. Le prix augmente de \(20\,\%\). Le nouveau prix est :
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Réponse bAugmenter de \(20\,\%\), c’est multiplier par \(1{,}2\) : \(400\times1{,}2=480\). Ou : \(20\,\%\) de \(400\) font \(80\), et \(400+80=480\).
Un sac coûte \(130\) euros. Le prix baisse de \(10\,\%\). Le nouveau prix est :
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Réponse dBaisser de \(10\,\%\), c’est multiplier par \(1-\dfrac{10}{100}=0{,}9\). Le nouveau prix est \(130\times0{,}9=117\) euros.
Le prix d’un article est noté \(P\). Il connaît deux augmentations de \(20\,\%\). Le prix après ces augmentations est :
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Réponse dChaque hausse de \(20\,\%\) multiplie le prix par \(1{,}2\). Deux hausses successives : \(P\times1{,}2\times1{,}2=P\times1{,}2^2=P\times1{,}44\), soit une hausse globale de \(44\,\%\).
Lors d’une élection, le quart des électeurs a voté pour A, \(20\,\%\) a voté pour B, un tiers a voté pour C, et le reste a voté pour D. Le candidat ayant recueilli le moins de votes est :
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Réponse bOn convertit tout en pourcentages : A \(25\,\%\), B \(20\,\%\), C \(\approx33{,}3\,\%\). D reçoit le reste : \(100-25-20-33{,}3\approx21{,}7\,\%\). Le plus petit score est celui de B.
On considère \(A=\dfrac{2}{1-\dfrac23}\). On a :
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Réponse cOn calcule d’abord le dénominateur : \(1-\dfrac23=\dfrac13\). Puis \(A=\dfrac2{\frac13}=2\times3=6\) : diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.
On considère \(A=\dfrac1{100}+\dfrac1{1000}\). On a :
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Réponse d\(\dfrac1{100}=0{,}01\) et \(\dfrac1{1000}=0{,}001\). Donc \(A=0{,}01+0{,}001=0{,}011\).
Une durée de \(75\) minutes correspond à :
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Réponse b\(75\) minutes \(=60+15\) minutes \(=1\) h \(+\dfrac{15}{60}\) h \(=1\) h \(+0{,}25\) h \(=1{,}25\) heure.
\(10^{30}+10^{-30}\) est environ égal à :
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Réponse c\(10^{-30}\) est un nombre minuscule (\(0{,}000\ldots01\), avec \(30\) chiffres après la virgule), et \(10^{30}\) est gigantesque. Ajouter le premier au second ne change pratiquement rien : la somme est environ \(10^{30}\).
La seule droite pouvant correspondre à l’équation \(y=-2x+5\) est :
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Réponse cDeux indices. Le coefficient directeur \(-2\) est négatif : la droite descend de gauche à droite, ce qui élimine \(D_1\) et \(D_2\). L’ordonnée à l’origine \(5\) est positive : la droite coupe l’axe des ordonnées au-dessus de l’origine, ce qui élimine \(D_4\). Il reste \(D_3\).
La solution de l’équation \(3x=0\) est :
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Réponse dOn divise les deux membres par \(3\) : \(x=\dfrac03=0\). Contrôle : \(3\times0=0\).
La solution de l’équation \(\dfrac{144}x=9\) est :
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Réponse cPour \(x\neq0\), on multiplie les deux membres par \(x\) : \(144=9x\), puis on divise par \(9\) : \(x=\dfrac{144}9=16\). Contrôle : \(\dfrac{144}{16}=9\).
Voici les notes sur vingt obtenues par un élève en mathématiques :
| Note | 10 | 13 | 12 | \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| Coefficient | 1 | 1 | 1 | 2 |
On cherche ce que doit valoir \(x\) pour que la moyenne de l’élève soit égale à \(15\).
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Réponse aMoyenne pondérée : \(\dfrac{10+13+12+2x}{1+1+1+2}=\dfrac{35+2x}5\). On veut \(\dfrac{35+2x}5=15\), soit \(35+2x=75\), donc \(2x=40\) et \(x=20\). C’est possible, avec la note maximale.
Partie 2 · Exercices (14 points)
Les points de chaque exercice ne sont pas précisés dans le sujet zéro. Ici, chaque justification compte : la rédaction modèle montre ce qu’on attend réellement sur la copie.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant la réponse.
1. On considère une suite arithmétique \((u_n)\) de raison \(r=\dfrac12\). On sait que \(u_{50}=1\,000\).
Affirmation 1 : \(u_{60}=1\,005\).
2. On considère une suite géométrique \((u_n)\) de raison \(q\) positive. On sait que \(u_{100}=5\) et que \(u_{102}=20\).
Affirmation 2 : \(u_{99}=2{,}5\).
3. Affirmation 3 : Il est possible de trouver au moins un réel \(x\) tel que \(x+x=x^2\).
4. On lance deux pièces équilibrées. On gagne si les deux pièces tombent du même côté, c’est-à-dire si elles tombent toutes les deux sur PILE ou si elles tombent toutes les deux sur FACE.
Affirmation 4 : On a une chance sur quatre de gagner.
Correction des quatre affirmations
Affirmation 1 : vraie. Dans une suite arithmétique, on ajoute la raison à chaque rang. De \(u_{50}\) à \(u_{60}\), on l’ajoute \(10\) fois : \(u_{60}=u_{50}+10r=1\,000+10\times\dfrac12=1\,005\).
Affirmation 2 : vraie. Dans une suite géométrique, on multiplie par \(q\) à chaque rang : \(u_{102}=u_{100}\times q^2\), donc \(q^2=\dfrac{20}5=4\). Comme \(q\) est positive, \(q=2\). Alors \(u_{100}=u_{99}\times q\) donne \(u_{99}=\dfrac{u_{100}}q=\dfrac52=2{,}5\).
Affirmation 3 : vraie. Il suffit d’un exemple : pour \(x=2\), \(x+x=4\) et \(x^2=4\). (On trouve tous les réels qui conviennent en résolvant \(2x=x^2\), soit \(x(x-2)=0\) : \(x=0\) ou \(x=2\).)
Affirmation 4 : fausse. Les issues équiprobables sont (P, P), (P, F), (F, P) et (F, F). On gagne avec (P, P) et (F, F) : \(2\) issues sur \(4\). La probabilité de gagner est \(\dfrac24=\dfrac12\), soit une chance sur deux.
Pour chaque affirmation, « vraie » ou « fausse » et une justification. En 3, un seul exemple suffit pour prouver « il existe » ; en 4, la liste des issues (ou un arbre) avec leur équiprobabilité.
On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=-x^2+6x-5\).
1. Calculer l’image de \(0\) et de \(3\) par la fonction \(f\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a : \((x-1)(5-x)=-x^2+6x-5\).
3. En déduire les antécédents de \(0\) par la fonction \(f\).
Correction des questions 1 à 3
1. \(f(0)=-0^2+6\times0-5=-5\) et \(f(3)=-3^2+6\times3-5=-9+18-5=4\).
2. On développe : \((x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x=-x^2+6x-5\). Pour tout réel \(x\), on a bien \((x-1)(5-x)=-x^2+6x-5\).
3. Les antécédents de \(0\) sont les solutions de \(f(x)=0\), soit \((x-1)(5-x)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x-1=0\) ou \(5-x=0\), donc \(x=1\) ou \(x=5\). Les antécédents de \(0\) par \(f\) sont \(1\) et \(5\).
En 1, le calcul de \(-3^2\) écrit correctement (\(-9\)). En 3, l’utilisation de la forme factorisée de la question 2 (« en déduire ») et la règle du produit nul citée.
4. Montrer que pour tout réel \(x\), on a : \(4-(x-3)^2=-x^2+6x-5\).
5. Est-il possible de trouver un réel \(x\) tel que \(f(x)\gt4\) ? Justifier.
6. Réaliser un schéma donnant l’allure de la courbe de la fonction \(f\) sur lequel apparaîtront les résultats des questions 1, 3 et 5.
Correction des questions 4 à 6
4. \((x-3)^2=x^2-6x+9\), donc \(4-(x-3)^2=4-x^2+6x-9=-x^2+6x-5\).
5. D’après la question 4, \(f(x)=4-(x-3)^2\). Un carré est toujours positif ou nul : \((x-3)^2\geqslant0\), donc \(f(x)=4-(x-3)^2\leqslant4\) pour tout réel \(x\). Il n’est pas possible de trouver un réel \(x\) tel que \(f(x)\gt4\). La valeur \(4\) est atteinte en \(x=3\) : c’est le maximum de \(f\).
6. Le coefficient de \(x^2\) est négatif : la courbe est une parabole « tournée vers le bas », de sommet \(S(3\,;4)\). Elle passe par \((0\,;-5)\) (question 1) et coupe l’axe des abscisses en \(1\) et \(5\) (question 3).
En 4, le développement de \((x-3)^2\) avec le double produit, et le signe moins distribué sur les trois termes. En 5, l’argument « un carré est positif ou nul ». En 6, un schéma légendé : le sommet, les deux points d’intersection avec l’axe des abscisses et le point \((0\,;-5)\).
Un club d’escalade propose à ses \(100\) adhérents deux séances par semaine : lundi, jeudi. À chacune des séances, chaque adhérent est libre de venir ou pas. Le tableau ci-dessous récapitule les choix des adhérents une semaine donnée.
| Présent le JEUDI | Absent le JEUDI | Total | |
|---|---|---|---|
| Présent le LUNDI | 45 | \(x\) | 75 |
| Absent le LUNDI | 20 | 5 | 25 |
| Total | 65 | 35 | 100 |
Exemple : le tableau montre que \(45\) adhérents sont venus lundi et jeudi.
1. Décrire par une phrase ce que représente le nombre \(x\) et déterminer sa valeur.
2. On choisit un adhérent au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un adhérent qui n’est venu ni le lundi ni le jeudi ?
b. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un adhérent qui n’est venu qu’un seul jour ?
c. On sait à présent que l’adhérent choisi est venu le lundi. Quelle est la probabilité qu’il soit également venu le jeudi ?
Correction des questions 1 et 2
1. \(x\) est le nombre d’adhérents venus le lundi mais pas le jeudi. Sur la ligne « Présent le lundi » : \(45+x=75\), donc \(x=30\). (Vérification sur la colonne « Absent le jeudi » : \(30+5=35\).)
2.a. \(5\) adhérents ne sont venus ni le lundi ni le jeudi : \(p=\dfrac5{100}=0{,}05\).
2.b. Venus un seul jour : lundi seulement (\(30\)) ou jeudi seulement (\(20\)), soit \(50\) adhérents : \(p=\dfrac{50}{100}=0{,}5\).
2.c. On se restreint aux \(75\) adhérents venus le lundi ; \(45\) d’entre eux sont aussi venus le jeudi : \(p=\dfrac{45}{75}=\dfrac35=0{,}6\).
En 1, une phrase qui dit ce que compte \(x\) (« lundi et pas jeudi »), puis le calcul. En 2.c, le dénominateur \(75\) : c’est la population des adhérents venus le lundi.
3. Chacun des adhérents verse au club une cotisation annuelle de \(100\) euros.
a. En 2026, le club compte \(100\) adhérents. Quel est le montant total des cotisations versées au club en 2026 ?
b. On suppose que, de 2026 (inclus) à 2041 (inclus), le montant de la cotisation reste stable, mais que le nombre d’adhérents augmente régulièrement de \(5\) unités chaque année. Ainsi, en 2026, il y a \(100\) adhérents, en 2027, il y a \(105\) adhérents, en 2028, \(110\) adhérents, en 2029, \(115\) adhérents, etc. Quel sera le montant total des cotisations versées au club entre 2026 et 2041 ?
Indication : on pourra utiliser la formule \(a+(a+r)+(a+2r)+(a+3r)+\cdots+(a+nr)=\dfrac{2a+nr}2\times(n+1)\).
Correction de la question 3
3.a. \(100\times100=10\,000\). En 2026, le club reçoit \(10\,000\) euros de cotisations.
3.b. Le nombre d’adhérents augmente de \(5\) chaque année : en \(2026+n\), il y a \(100+5n\) adhérents. De 2026 à 2041, \(n\) va de \(0\) à \(15\), soit \(16\) années. Le nombre total d’adhésions est la somme \(100+105+110+\cdots+175\), avec \(a=100\), \(r=5\), \(n=15\) :
\(\dfrac{2\times100+15\times5}2\times(15+1)=\dfrac{275}2\times16=275\times8=2\,200\).
Chaque adhésion rapporte \(100\) euros : le montant total des cotisations entre 2026 et 2041 est \(2\,200\times100=\)\(220\,000\) euros.
En 3.b, la bonne valeur de \(n\) (\(15\), car le dernier terme est \(a+15r=175\)) et le bon nombre de termes (\(n+1=16\)), puis la multiplication par la cotisation.
Où as-tu perdu des points ?
Repère la famille de chaque erreur, puis travaille-la avant de passer au sujet suivant.
Questions fréquentes
Ce sujet correspond-il à l’épreuve de juin 2027 ?
Il en donne le niveau et la structure : une partie d’automatismes sur 6 points, puis des exercices sur 14 points, sans calculatrice, en 2 heures. En juin 2027, les automatismes ne seront plus un QCM mais des questions à réponse courte (note de service du 11 septembre 2026).
Le sujet est-il le même pour toutes les séries technologiques ?
Oui : l’épreuve anticipée porte sur le tronc commun de mathématiques de Première technologique, quelle que soit ta série. On y retrouve les pourcentages, les suites, le second degré et les probabilités, comme dans ce sujet.
Je suis en voie générale : ce sujet est-il pour moi ?
Non : il y a trois sujets différents, un par programme de Première. Prends le sujet de ta voie dans le guide de l’épreuve anticipée.
Sources : Éduscol, épreuve anticipée de mathématiques · Note de service du 11 septembre 2026 (BO spécial n° 4) · Sujet zéro voie technologique n° 2, licence Etalab 2.0.