Épreuve anticipée · Fiche spécialité maths

Suites : arithmétiques, géométriques, sommes, sens de variation. 10 exercices corrigés.

Tout le chapitre Suites du programme de Première spécialité : calculer des termes, démontrer la nature d’une suite, écrire son terme général, sommer, étudier ses variations, écrire un algorithme de seuil. Avec la rédaction attendue, sans calculatrice.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 22 octobre 2026 · Durée : 1 h 30 · Sources officielles citées en fin de page

Commencer l’exercice 1 →Revoir le cours d’abord

L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Voie technologique : les parties 1 à 3 et les exercices 1 à 5 suffisent. Le reste est au programme de spécialité. Voir aussi l’épreuve en voie technologique.

1. Deux façons de définir une suite

Forme explicite : \(u_n=f(n)\). On calcule n’importe quel terme directement : avec \(u_n=2n^2-1\), \(u_{10}=199\).

Par récurrence : un premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\). Pour obtenir \(u_{10}\), il faut d’abord \(u_1\), \(u_2\)… jusqu’à \(u_9\).

\(u_{n+1}=u_n+1\). \(u_{n+1}\) est le terme suivant, pas « \(u_n\) plus 1 » : avec \(u_n=2n^2-1\), \(u_{n+1}=2(n+1)^2-1\).

2. Suites arithmétiques et géométriques

Arithmétique de raison \(r\)Géométrique de raison \(q\)
Relation\(u_{n+1}=u_n+r\)\(u_{n+1}=q\times u_n\)
Terme général\(u_n=u_0+nr\)\(u_n=u_0\times q^n\)
D’un terme à l’autre\(u_n=u_p+(n-p)r\)\(u_n=u_p\times q^{n-p}\)
ModèleMême quantité ajoutée à chaque étapeMême pourcentage d’évolution à chaque étape

Une hausse de \(t\,\%\) donne \(q=1+\frac{t}{100}\) ; une baisse de \(t\,\%\) donne \(q=1-\frac{t}{100}\). Baisse de 10 % : \(q=0{,}9\), pas \(-0{,}1\).

3. Démontrer la nature d’une suite

Arithmétique

On calcule \(u_{n+1}-u_n\) et on montre que le résultat est un nombre qui ne dépend pas de \(n\) : c’est la raison \(r\).

Géométrique

On écrit \(u_{n+1}\) et on le met sous la forme \(q\times u_n\), avec \(q\) qui ne dépend pas de \(n\). (Si tous les termes sont non nuls, on peut aussi montrer que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) est constant.)

Ni l’un ni l’autre

Un seul contre-exemple suffit : \(u_1-u_0\neq u_2-u_1\), ou \(\frac{u_1}{u_0}\neq\frac{u_2}{u_1}\).

Piège classique

Vérifier sur trois termes et conclure « donc arithmétique ». Calculer \(u_1-u_0\) et \(u_2-u_1\) peut prouver qu’une suite ne l’est pas, jamais qu’elle l’est. Il faut le calcul pour tout \(n\).

4. Les sommes

\[1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\qquad\qquad 1+q+q^2+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\ \ (q\neq1)\]

Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs vaut :

\[S=\ca{\text{nombre de termes}}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\]

De \(u_p\) à \(u_n\), il y a \(\cb{n-p+1}\) termes. De \(u_0\) à \(u_{20}\) : 21 termes, pas 20.

5. Sens de variation

\((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1}\geqslant u_n\) pour tout \(n\), décroissante si \(u_{n+1}\leqslant u_n\). Trois méthodes :

  • Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) : la méthode qui marche toujours.
  • Le cas de référence : arithmétique, le signe de \(r\) décide. Géométrique avec \(u_0\gt0\) : croissante si \(q\gt1\), décroissante si \(0\lt q\lt1\).
  • La fonction : si \(u_n=f(n)\) et \(f\) est monotone sur \([0\,;+\infty[\), \((u_n)\) a le même sens de variation.

6. Comportement quand n devient grand

Approche intuitive, sans calcul de limite formel : si \(q\gt1\), \(q^n\) devient aussi grand qu’on veut ; si \(0\lt q\lt1\), \(q^n\) se rapproche de 0. Une suite arithmétique de raison \(r\gt0\) dépasse n’importe quel seuil.

7. L’algorithme de seuil

Pour trouver le premier rang où une suite dépasse une valeur, on calcule les termes un par un tant que le seuil n’est pas franchi. En Python, c’est une boucle while (exercice 9).

Les exercices

Pour chaque suite, commence par écrire sa nature quand tu la connais (« arithmétique de raison… »). C’est la moitié du travail.

Exercice 1 · Modéliser : +150 ou +5 %

Niveau ★★★ Réflexe

Un club compte 2 000 adhérents en 2026. Scénario A : +150 adhérents par an. Scénario B : +5 % par an. On note \(u_n\) et \(v_n\) le nombre d’adhérents en \(2026+n\).

  1. Préciser la nature de chaque suite, sa raison et son premier terme.
  2. Calculer \(u_2\) et \(v_2\).
  3. Exprimer \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

La nature, puis deux termes et deux formules explicites.

Méthode

« On ajoute la même quantité » : arithmétique. « Même pourcentage » : géométrique, de raison \(1+\frac{5}{100}\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u_{n+1}=u_n+\ca{150},\quad u_0=2000\)
\((u_n)\) arithmétique de raison 150.
\(\displaystyle v_{n+1}=\ca{1{,}05}\times v_n,\quad v_0=2000\)
\((v_n)\) géométrique de raison 1,05.
\(\displaystyle u_2=2000+2\times150=2300\)
\(u_n=u_0+nr\).
\(\displaystyle v_2=2000\times1{,}05^2=2000\times1{,}1025=2205\)
\(1{,}05^2=1{,}1025\).
\(\displaystyle \cb{u_n=2000+150n},\quad \cb{v_n=2000\times1{,}05^n}\)
Piège classique

Prendre 0,05 comme raison de \((v_n)\). Multiplier par 0,05, c’est garder 5 % des adhérents.

Contrôle. \(v_1=2000\times1{,}05=2100\), soit bien 100 adhérents de plus, 5 % de 2 000 ✓.

Exercice 2 · Explicite ou récurrence

Niveau ★★★ Réflexe

Soit \(u_n=2n^2-1\), et \((v_n)\) définie par \(v_0=4\) et \(v_{n+1}=2v_n-3\).

  1. Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) puis \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\).
  2. Calculer \(u_{10}\). Peut-on calculer \(v_{10}\) aussi vite ?
  3. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Des termes, et la différence de fonctionnement entre les deux modes.

Méthode

Forme explicite : on remplace \(n\). Récurrence : on part du terme précédent.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u_0=-1,\ u_1=1,\ u_2=7,\ u_3=17\)
\(u_3=2\times9-1\).
\(\displaystyle v_1=2\times\ca4-3=5\)
On utilise \(v_0\).
\(\displaystyle v_2=2\times5-3=7,\quad v_3=2\times7-3=11\)
Chaque terme utilise le précédent.
\(\displaystyle u_{10}=2\times100-1=199\)
Directement.
\(\displaystyle u_{n+1}=2(\ca{n+1})^2-1=\cb{2n^2+4n+1}\)
On remplace \(n\) par \(n+1\), puis on développe.

Pour \(v_{10}\), il faut calculer \(v_4\), \(v_5\)… jusqu’à \(v_9\) : c’est le défaut de la récurrence, et la raison d’être des algorithmes.

Piège classique

Écrire \(u_{n+1}=2n^2-1+1\). On remplace \(n\) par \(n+1\) partout, avec des parenthèses.

Contrôle. Avec \(n=2\) : \(2\times4+8+1=17=u_3\) ✓.

Exercice 3 · Démontrer qu’une suite est arithmétique

Niveau ★★★ Application

a) Soit \(u_n=5-3n\). Démontrer que \((u_n)\) est arithmétique et donner sa raison.
b) Soit \(t_n=n^2\). La suite \((t_n)\) est-elle arithmétique ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

a) Une différence constante pour tout \(n\). b) Un contre-exemple.

Méthode

On calcule \(u_{n+1}-u_n\) en toutes lettres.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u_{n+1}=5-3(n+1)=2-3n\)
a) On remplace \(n\) par \(n+1\).
\(\displaystyle u_{n+1}-u_n=(2-3n)-(5-3n)=\cb{-3}\)
Le résultat ne dépend pas de \(n\).
\(\displaystyle t_1-t_0=1,\quad t_2-t_1=3\)
b) Deux différences distinctes.

Rédaction attendue. a) Pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}-u_n=-3\) : \((u_n)\) est arithmétique de raison \(-3\) et de premier terme \(u_0=5\). b) \(t_1-t_0\neq t_2-t_1\) : \((t_n)\) n’est pas arithmétique.

Piège classique

Oublier les parenthèses dans \(-(5-3n)\) et trouver \(-3-6n\).

Contrôle. \(u_0=5\), \(u_1=2\), \(u_2=-1\) : on retire bien 3 à chaque fois ✓.

Exercice 4 · Démontrer qu’une suite est géométrique

Niveau ★★★ Application

a) Soit \(w_n=5\times2^{n+1}\). Démontrer que \((w_n)\) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
b) Soit \(p_n=n+1\). La suite \((p_n)\) est-elle géométrique ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

a) \(w_{n+1}=q\times w_n\) avec \(q\) constant. b) Un contre-exemple.

Méthode

On écrit \(w_{n+1}\) et on fait apparaître \(w_n\) avec \(a^{m+1}=a\times a^m\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle w_{n+1}=5\times2^{n+2}\)
a) On remplace \(n\) par \(n+1\).
\(\displaystyle =5\times\ca2\times2^{n+1}=\ca2\times(5\times2^{n+1})\)
\(2^{n+2}=2\times2^{n+1}\).
\(\displaystyle \cb{w_{n+1}=2\,w_n},\quad w_0=5\times2=10\)
\(\displaystyle \frac{p_1}{p_0}=2,\quad\frac{p_2}{p_1}=\frac32\)
b) Deux quotients distincts.

Rédaction attendue. a) Pour tout \(n\), \(w_{n+1}=2w_n\) : \((w_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme 10. b) \((p_n)\) n’est pas géométrique.

Piège classique

Écrire \(5\times2^{n+1}=10^{n+1}\). On ne multiplie pas 5 par 2 avant d’avoir appliqué la puissance.

Contrôle. \(w_0=10\), \(w_1=20\), \(w_2=40\) : on double à chaque fois ✓.

Exercice 5 · Retrouver le terme général

Niveau ★★★ Application

a) \((u_n)\) est arithmétique avec \(u_5=17\) et \(u_{12}=38\). Déterminer \(r\), \(u_0\), puis \(u_n\).
b) \((v_n)\) est géométrique de raison positive avec \(v_2=12\) et \(v_5=96\). Déterminer \(q\), \(v_0\), puis \(v_n\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

La raison, le premier terme, la formule explicite.

Méthode

On relie les deux termes connus par \(u_n=u_p+(n-p)r\) ou \(v_n=v_p\times q^{n-p}\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u_{12}=u_5+\ca7r\iff 38=17+7r\iff r=3\)
a) De l’indice 5 à l’indice 12 : 7 pas.
\(\displaystyle u_0=u_5-5r=17-15=2,\quad \cb{u_n=2+3n}\)
On redescend de 5 pas.
\(\displaystyle v_5=v_2\times q^{\ca3}\iff 96=12q^3\iff q^3=8\)
b) De l’indice 2 à l’indice 5 : 3 pas.
\(\displaystyle q=2,\quad v_0=\frac{v_2}{q^2}=\frac{12}{4}=3,\quad \cb{v_n=3\times2^n}\)
\(2^3=8\).
Piège classique

Compter 12 − 5 + 1 = 8 pas. Entre deux indices, le nombre de pas est leur différence ; le « +1 » sert à compter des termes, pas des pas.

Contrôle. \(u_5=2+15=17\) ✓ et \(v_5=3\times32=96\) ✓.

Exercice 6 · Somme de termes arithmétiques

Niveau ★★★ Application

a) Calculer \(S=1+2+3+\dots+100\).
b) Soit \(u_n=3+2n\). Calculer \(T=u_0+u_1+\dots+u_{20}\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Deux sommes, sans les additionner terme à terme.

Méthode

Nombre de termes × (premier + dernier) / 2. On compte les termes avant tout.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle S=\frac{100\times101}{2}=5050\)
a) Formule \(\frac{n(n+1)}{2}\) avec \(n=100\).
\(\displaystyle u_0=3,\quad u_{20}=3+40=43\)
b) Premier et dernier termes.
\(\displaystyle \text{De }u_0\text{ à }u_{20}:\ 20-0+1=\ca{21}\text{ termes}\)
\(n-p+1\).
\(\displaystyle T=\ca{21}\times\frac{3+43}{2}=21\times23=\cb{483}\)
Piège classique

Compter 20 termes au lieu de 21 : on trouve 460.

Contrôle. La valeur moyenne d’un terme est 23 (le terme du milieu, \(u_{10}=23\)) : \(21\times23\) est cohérent ✓.

Exercice 7 · Somme de termes géométriques

Niveau ★★★ Application

a) Calculer \(S=1+2+2^2+\dots+2^{10}\).
b) Calculer \(T=3+6+12+\dots+3\times2^9\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Deux sommes de puissances.

Méthode

\(1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\). Si les termes ont un facteur commun, on le met devant.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle S=\frac{1-2^{\ca{11}}}{1-2}=2^{11}-1=2047\)
a) \(n=10\), donc l’exposant est \(n+1=11\).
\(\displaystyle T=\ca3\times(1+2+\dots+2^9)\)
b) On factorise par 3.
\(\displaystyle =3\times(2^{10}-1)=3\times1023=\cb{3069}\)
\(2^{10}=1024\).
Piège classique

Écrire \(2^{10}\) au lieu de \(2^{11}\) dans a). La somme va jusqu’à \(q^n\), la formule utilise \(q^{n+1}\).

Contrôle. Sur un petit cas : \(1+2+4=7=2^3-1\) ✓.

Exercice 8 · Sens de variation, trois méthodes

Niveau ★★★ Application

Étudier le sens de variation de chaque suite :
a) \(u_n=n^2+n\) ; b) \(v_n=5\times0{,}8^n\) ; c) \(w_0=10\) et \(w_{n+1}=w_n-n^2\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Croissante ou décroissante, avec une justification valable pour tout \(n\).

Méthode

a) et c) : signe de la différence. b) : c’est une suite géométrique, on applique le cas de référence.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+(n+1)-n^2-n=2n+2\)
a) On développe et on réduit.
\(\displaystyle 2n+2\gt0\ \Rightarrow\ \cb{(u_n)\text{ croissante}}\)
\(n\geqslant0\).
\(\displaystyle v_0=5\gt0,\quad 0\lt\ca{0{,}8}\lt1\ \Rightarrow\ \cb{(v_n)\text{ décroissante}}\)
b) Géométrique de raison 0,8.
\(\displaystyle w_{n+1}-w_n=-n^2\leqslant0\ \Rightarrow\ \cb{(w_n)\text{ décroissante}}\)
c) Lu directement sur la relation.
Piège classique

Conclure à partir de \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\). Trois termes croissants ne prouvent rien : il faut le signe pour tout \(n\).

Contrôle. c) \(w_1=10\), \(w_2=9\), \(w_3=5\) : la suite ne monte jamais ✓ (\(w_1=w_0\) car \(-0^2=0\) : décroissante, pas strictement au début).

Exercice 9 · Algorithme de seuil en Python

Niveau ★★★ Application

On reprend le scénario B de l’exercice 1 : \(v_n=2000\times1{,}05^n\). On cherche la première année où le club dépasse 3 000 adhérents. On donne \(1{,}05^8\approx1{,}477\) et \(1{,}05^9\approx1{,}551\).

  1. Compléter l’algorithme ci-dessous.
  2. Quelle valeur affiche-t-il ? Interpréter.
v = 2000
n = 0
while ........ :
    v = ........
    n = n + 1
print(n)
Voir la correction détaillée de l’exercice 9
Ce qu’on cherche

La condition de la boucle, la mise à jour, puis le rang affiché.

Méthode

La boucle tourne tant que le seuil n’est pas dépassé. À chaque tour, on passe au terme suivant et on augmente \(n\).

v = 2000
n = 0
while v <= 3000 :
    v = v * 1.05
    n = n + 1
print(n)

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle v_8\approx2000\times1{,}477=2954\leqslant3000\)
La boucle continue.
\(\displaystyle v_9\approx2000\times1{,}551=3102\gt3000\)
La boucle s’arrête.
\(\displaystyle \cb{n=9}\ :\ 2026+9=2035\)
On revient à la question posée.
Piège classique

Écrire while v > 3000 : la condition est celle pour continuer, pas pour s’arrêter. Avec \(v=2000\), la boucle ne tournerait jamais.

Contrôle. La réponse attendue est une année, 2035, pas seulement « 9 » ✓.

Exercice 10 · Suite auxiliaire, format épreuve

Niveau ★★★ Format épreuve

Un autre club compte 2 000 adhérents en 2026. Chaque année, 10 % des adhérents partent et 150 nouveaux arrivent. On note \(a_n\) le nombre d’adhérents en \(2026+n\), donc \(a_0=2000\) et \(a_{n+1}=0{,}9\,a_n+150\).

  1. Calculer \(a_1\). La suite \((a_n)\) est-elle arithmétique ? géométrique ?
  2. On pose \(b_n=a_n-1500\). Démontrer que \((b_n)\) est géométrique.
  3. En déduire \(a_n\) en fonction de \(n\), puis le sens de variation de \((a_n)\).
  4. Vers quelle valeur le nombre d’adhérents semble-t-il se stabiliser ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 10
Ce qu’on cherche

Une formule explicite pour une suite ni arithmétique ni géométrique, en passant par une suite intermédiaire.

Méthode

On écrit \(b_{n+1}\), on remplace \(a_{n+1}\) par sa relation, et on fait apparaître \(b_n\) en factorisant.

1. Premiers termes

\(\displaystyle a_1=0{,}9\times2000+150=1950,\quad a_2=0{,}9\times1950+150=1905\)
\(\displaystyle a_1-a_0=-50\neq a_2-a_1=-45\)
Pas arithmétique.
\(\displaystyle \frac{a_1}{a_0}=0{,}975\neq\frac{a_2}{a_1}\approx0{,}977\)
Pas géométrique.

2. La suite auxiliaire

\(\displaystyle b_{n+1}=a_{n+1}-1500=0{,}9\,a_n+150-1500\)
On remplace \(a_{n+1}\).
\(\displaystyle =0{,}9\,a_n-1350=\ca{0{,}9}(a_n-1500)\)
\(1350=0{,}9\times1500\).
\(\displaystyle \cb{b_{n+1}=0{,}9\,b_n},\quad b_0=2000-1500=500\)
Géométrique de raison 0,9.

3. Formule et variations

\(\displaystyle b_n=500\times0{,}9^n\)
\(b_n=b_0\times q^n\).
\(\displaystyle \cb{a_n=1500+500\times0{,}9^n}\)
\(a_n=b_n+1500\).
\(\displaystyle a_{n+1}-a_n=500\times0{,}9^n(0{,}9-1)=-50\times0{,}9^n\lt0\)
On factorise par \(500\times0{,}9^n\).

Rédaction attendue. Pour tout \(n\), \(a_{n+1}-a_n\lt0\) : \((a_n)\) est décroissante.

4. Le comportement à long terme

Comme \(0\lt0{,}9\lt1\), \(0{,}9^n\) se rapproche de 0 quand \(n\) devient grand : \(a_n\) se rapproche de 1 500 adhérents.

Piège classique

Écrire \(a_n=2000\times0{,}9^n+150\). C’est la suite \((b_n)\) qui est géométrique, pas \((a_n)\) : on passe toujours par \(b_n\).

Contrôle. \(a_1=1500+500\times0{,}9=1950\) ✓, la même valeur qu’à la question 1.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à un sujet complet. Sinon, refais les exercices concernés.

\(u_0=7\) et \(u_{n+1}=u_n-4\). Que vaut \(u_{10}\) ?
Arithmétique de raison \(-4\) : \(u_{10}=7-40=-33\) (exercice 5).
Calculer \(1+3+9+\dots+3^5\).
\(\dfrac{1-3^6}{1-3}=\dfrac{728}{2}=364\) (exercice 7).
\(v_n=-2\times1{,}1^n\) : sens de variation ?
\(v_{n+1}-v_n=-2\times1{,}1^n\times0{,}1\lt0\) : décroissante. Avec \(v_0\lt0\), le cas \(q\gt1\) s’inverse (exercice 8).

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Sources

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