Fiche de méthode · Seconde
Vecteurs en Seconde : 4 exercices corrigés de méthode.
Translation, égalité de vecteurs, somme et relation de Chasles, produit par un réel, colinéarité : toute la première partie du chapitre, sans repère ni coordonnées. Chaque construction est expliquée pas à pas, avec la rédaction attendue en classe.
L'essentiel du cours avant de commencer
- Vecteur. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) déplace tout point dans la même direction que \((AB)\), dans le même sens (de \(A\) vers \(B\)) et de la même longueur. Ce déplacement est le vecteur \(\overrightarrow{AB}\), de norme \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\).
- Égalité. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) \(\iff\) \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati). Attention à l'ordre des lettres.
- Milieu. \(I\) est le milieu de \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0\).
- Somme. Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
- Opposé, différence. \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\) et \(\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)\).
- Produit par un réel \(k\). \(k\vec u\) a la même direction que \(\vec u\), le même sens si \(k>0\), le sens contraire si \(k<0\), et pour longueur \(|k|\times\|\vec u\|\).
- Colinéarité. \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\). Alors \((AB)\parallel(CD)\) \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires, et \(A,B,C\) alignés \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
Exercice 1 · Translation, égalité de vecteurs, parallélogramme
On considère le triangle \(ABC\) ci-dessous.
- Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont-ils égaux ? Justifier à l'aide de la direction, du sens et de la longueur.
- Construire le point \(D\), image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ?
- Construire le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\). Quelle est la nature de \(ABEC\) ?
- Démontrer que \(C\) est le milieu du segment \([DE]\).
- Démontrer que \(E\) est aussi l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 1
1. \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont-ils égaux ?
On vérifie les trois caractéristiques, dans l'ordre : direction (la droite), sens (la flèche), longueur. Il suffit qu'une seule diffère pour que les vecteurs soient différents.
- Direction : la droite \((AB)\) pour les deux. Identique.
- Sens : \(\overrightarrow{AB}\) va de \(A\) vers \(B\), \(\overrightarrow{BA}\) va de \(B\) vers \(A\). Contraires.
- Longueur : \(AB=BA\). Identique.
Les sens diffèrent, donc \(\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}\). Ce sont des vecteurs opposés : \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
2. Construction de \(D\), image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\)
Traduction. « \(D\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) » signifie : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Le point de départ est \(A\), le point d'arrivée est \(D\).
- Sur quadrillage : on compte le déplacement de \(B\) à \(C\) (ici 3 carreaux vers la gauche, 2 vers le haut) et on applique le même déplacement à partir de \(A\).
- Au compas : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) signifie que \(ADCB\) est un parallélogramme. On trace l'arc de centre \(A\) et de rayon \(BC\), puis l'arc de centre \(C\) et de rayon \(AB\). \(D\) est le point d'intersection situé du même côté que \(C\) par rapport à \((AB)\) ; l'autre intersection donnerait un quadrilatère croisé.
Nature de \(ABCD\). On a \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). D'après le cours (\(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{WZ}\iff XYZW\) parallélogramme), avec \(X=A\), \(Y=D\), \(W=B\), \(Z=C\) : \(ADCB\) est un parallélogramme. Or \(ADCB\) et \(ABCD\) désignent le même quadrilatère, parcouru dans l'autre sens.
\(D\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\), donc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Les points \(A,B,C\) n'étant pas alignés, le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme (non aplati).
L'ordre des lettres : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) donne le parallélogramme \(AB\mathbf{DC}\), pas \(ABCD\). Astuce : on lit les deux premières lettres dans l'ordre, puis les deux dernières à l'envers. Toujours vérifier sur la figure que le quadrilatère obtenu n'est pas croisé.
3. Construction de \(E\) tel que \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\)
On applique à partir de \(C\) le déplacement de \(A\) vers \(B\) (4 carreaux à droite, 1 vers le haut). \(E\) est donc l'image de \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\) : avec les lettres \(A,B\) puis \(E,C\), le quadrilatère \(ABEC\) est un parallélogramme.
4. \(C\) est le milieu de \([DE]\)
Pour montrer que \(C\) est le milieu de \([DE]\), on montre que \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE}\). On cherche un vecteur intermédiaire égal aux deux : ici \(\overrightarrow{AB}\), présent dans les deux parallélogrammes.
\(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Par construction, \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}\).
Donc \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE}\) : le point \(C\) est le milieu du segment \([DE]\).
Contrôle sur la figure : de \(D\) à \(C\), on avance de 4 carreaux à droite et 1 vers le haut ; de \(C\) à \(E\) aussi.
5. \(E\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\)
Il faut démontrer \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}\). On utilise le parallélogramme déjà obtenu.
\(ABEC\) est un parallélogramme (question 3). Dans un parallélogramme, les côtés opposés définissent des vecteurs égaux : \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}\). Donc \(E\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\).
À retenir. Un parallélogramme \(ABEC\) contient deux égalités : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}\). Quand l'une ne mène à rien, pensez à l'autre.
Exercice 2 · Somme de vecteurs, relation de Chasles, milieu
Partie A · Constructions. On donne quatre points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
Construire les points \(M\), \(N\) et \(P\) définis par : \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
Partie B · Calcul vectoriel. \(A,B,C,D\) et \(M\) désignent des points quelconques. Simplifier :
Puis démontrer que, pour tous points \(A,B,C,D\) : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
Partie C · Milieu. \(I\) est le milieu de \([AB]\). Démontrer que, pour tout point \(M\) du plan : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 2
Partie A · Constructions
- Même origine (\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)) : règle du parallélogramme. On complète le parallélogramme construit sur \([AB]\) et \([AC]\) ; la somme est la diagonale issue de \(A\).
- Origines différentes (\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)) : bout à bout. On trace le premier vecteur, puis on recopie le second à partir de l'extrémité du premier. La somme va du tout premier point au tout dernier.
- Différence (\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)) : on la transforme en somme, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\), puis on simplifie avec Chasles.
Point \(M\). Les deux vecteurs partent de \(A\) : règle du parallélogramme. \(M\) est le quatrième sommet du parallélogramme \(ABMC\) : on construit \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AC}\), soit 1 carreau à droite et 3 vers le haut à partir de \(B\).
Point \(N\). Origines différentes : on met bout à bout. À partir de \(B\), on reporte \(\overrightarrow{CD}\) (2 à droite, 2 vers le haut) : on obtient \(N\) avec \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CD}\). Par Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}\).
Point \(P\). On transforme : \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\). Donc \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{CB}\) : \(P\) est l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{CB}\) (3 à droite, 2 vers le bas), et \(APBC\) est un parallélogramme.
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\neq\overrightarrow{BC}\). Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Ici les deux vecteurs partent de \(A\) : c'est la règle du parallélogramme.
Partie B · Calcul vectoriel
- Remplacer chaque \(-\overrightarrow{XY}\) par \(+\overrightarrow{YX}\) : il ne reste que des sommes.
- Réordonner les termes pour que les lettres s'emboîtent : \(\overrightarrow{\cdot X}+\overrightarrow{X\cdot}\).
- Appliquer Chasles de proche en proche, en pensant à \(\overrightarrow{XX}=\vec 0\).
Pour \(\vec w\), les lettres s'emboîtent parfaitement : \(A\to B\to C\to D\to A\), on fait un tour complet.
Démonstration de \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
On part d'un membre et on le transforme jusqu'à obtenir l'autre. L'outil clé : insérer un point avec Chasles, \(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZY}\), en choisissant \(Z\) pour faire apparaître les vecteurs voulus.
On veut voir apparaître \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CB}\) : on insère \(D\) dans \(\overrightarrow{AB}\) et \(B\) dans \(\overrightarrow{CD}\).
Partie C · \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)
Idée. \(M\) est quelconque, on ne sait rien de lui ; en revanche on sait tout sur \(I\). On fait donc passer par \(I\).
D'après la relation de Chasles :
Or \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0\). Ainsi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
Lecture géométrique. On construit \(S\) tel que \(MASB\) soit un parallélogramme : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MS}\) est sa diagonale. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, et le milieu de \([AB]\) est \(I\) : \(I\) est donc aussi le milieu de \([MS]\), d'où \(\overrightarrow{MS}=2\overrightarrow{MI}\).
Exercice 3 · Produit d'un vecteur par un réel
On considère le triangle \(ABC\) ci-dessous ; \(K\) est le milieu de \([BC]\).
- Construire les points \(D\), \(E\), \(M\) et \(N\) définis par : \(\overrightarrow{AD}=\tfrac32\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AE}=-\tfrac12\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{BM}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\). Que peut-on en déduire pour les droites \((BM)\) et \((AC)\) ?
- Exprimer \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Écrire le plus simplement possible, en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : \(\vec u=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 3
1. Constructions
- Un seul terme \(\overrightarrow{AX}=k\overrightarrow{AB}\) : \(X\) est sur la droite \((AB)\). Si \(k>0\), du côté de \(B\) ; si \(k<0\), de l'autre côté de \(A\). Distance : \(AX=|k|\times AB\).
- Plusieurs termes : on construit chaque vecteur \(k\vec u\) séparément, puis on les met bout à bout à partir de \(A\). Le point d'arrivée est \(X\).
\(D\). \(\tfrac32>0\) : même sens que \(\overrightarrow{AB}\). \(AD=1{,}5\times AB=1{,}5\times4=6\) carreaux. \(D\) est sur la demi-droite \([AB)\), au-delà de \(B\), avec \(BD=\tfrac12 AB\).
\(E\). \(-\tfrac12<0\) : sens contraire de \(\overrightarrow{AC}\), et \(AE=\tfrac12 AC\). \(E\) est sur la droite \((AC)\), de l'autre côté de \(A\) par rapport à \(C\). Sur le quadrillage : \(\overrightarrow{AC}\) correspond à 2 à droite et 4 en haut, donc \(-\tfrac12\overrightarrow{AC}\) à 1 à gauche et 2 en bas.
\(M\). On part de \(A\), on suit \(\overrightarrow{AB}\) jusqu'à \(B\), puis on reporte \(\tfrac12\overrightarrow{AC}\) (1 à droite, 2 en haut) à partir de \(B\).
\(N\). On part de \(A\), on suit \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\) (4 carreaux vers la gauche), puis on reporte \(\tfrac12\overrightarrow{AC}\) (1 à droite, 2 en haut).
Pour placer \(E\), on part de \(A\), l'origine écrite dans \(\overrightarrow{AE}\), et non de \(C\). Placer « la moitié de \(\overrightarrow{CA}\) » à partir de \(C\) donnerait le milieu de \([AC]\) : faux. Règle : on part toujours du point écrit en premier dans le vecteur à construire.
2. \(\overrightarrow{BM}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\)
On fait passer le vecteur par le point de référence (ici \(A\), car tout est donné à partir de \(A\)) avec Chasles : \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\). Puis on remplace et on réduit.
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}=\tfrac12\overrightarrow{AC}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont donc colinéaires : les droites \((BM)\) et \((AC)\) sont parallèles.
Contrôle sur la figure : de \(B\) à \(M\), 1 à droite et 2 en haut ; de \(A\) à \(C\), 2 à droite et 4 en haut. C'est bien la moitié.
3. \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
\(K\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\overrightarrow{BK}=\tfrac12\overrightarrow{BC}\). On passe par \(B\) :
Autre méthode, plus rapide : on applique la partie C de l'exercice 2 au segment \([BC]\), de milieu \(K\), avec le point \(A\) à la place de \(M\) : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}\), d'où le même résultat.
4. Simplification de \(\vec u=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}\)
Objectif : ne garder que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Le vecteur gênant est \(\overrightarrow{CB}\) : on le décompose en passant par \(A\), \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\).
Distribuer le coefficient sur tous les termes de la parenthèse : \(2(-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})=-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\). On regroupe ensuite comme en calcul littéral : \(3x-2y-2y+2x=5x-4y\).
Exercice 4 · Colinéarité : alignement et parallélisme
\(ABCD\) est un parallélogramme. On définit les points \(E\), \(F\) et \(P\) par : \(\overrightarrow{AE}=\tfrac32\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}\), et \(P\) milieu de \([AB]\).
- Faire une figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
- En déduire que les points \(E\), \(C\) et \(F\) sont alignés.
- Les droites \((BD)\) et \((EF)\) sont-elles parallèles ?
- Démontrer que \(PECD\) est un parallélogramme. En déduire que \((PD)\parallel(EF)\).
Voir la correction détaillée de l'exercice 4
1. Figure
Construction. \(E\) : sur \([AB)\), au-delà de \(B\), avec \(AE=1{,}5\,AB\) (donc \(BE=\tfrac12 AB\)). \(F\) : sur \([AD)\), avec \(AF=3\,AD\). \(P\) : milieu de \([AB]\). La figure suggère que \(E\), \(C\), \(F\) sont alignés et que \((PD)\parallel(EF)\) : il reste à le démontrer.
Dans un parallélogramme \(ABCD\), on exprime tous les vecteurs en fonction de deux vecteurs non colinéaires bien choisis, ici \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Outils : Chasles en passant par \(A\), \(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{AY}\) ; et le parallélogramme, \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\). Ensuite, pour comparer deux vecteurs, on compare leurs coefficients.
2. Expressions de \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\)
3. Alignement de \(E\), \(C\), \(F\)
On cherche un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{EF}=k\,\overrightarrow{EC}\). Devant \(\overrightarrow{AD}\), on passe de 1 à 3 ; devant \(\overrightarrow{AB}\), de \(-\tfrac12\) à \(-\tfrac32\). Dans les deux cas, on multiplie par 3.
\(3\overrightarrow{EC}=3\left(-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=-\tfrac32\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EF}\).
Donc \(\overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{EC}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EC}\) sont colinéaires. Comme ils ont le point \(E\) en commun, les points \(E\), \(C\) et \(F\) sont alignés.
Deux vecteurs colinéaires donnent des droites parallèles. Pour conclure à l'alignement, il faut en plus un point commun : c'est pourquoi on choisit deux vecteurs de même origine (\(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\)), et on le dit dans la rédaction.
4. \((BD)\) et \((EF)\) sont-elles parallèles ?
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{EF}=-\tfrac32\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}\). Il faudrait un même \(k\) pour les deux coefficients : devant \(\overrightarrow{AB}\), \(k=\tfrac32\) ; devant \(\overrightarrow{AD}\), \(k=3\). Les rapports diffèrent.
Supposons qu'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{BD}\). Alors \(-\tfrac32\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}=-k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AD}\), soit \(\left(k-\tfrac32\right)\overrightarrow{AB}=(k-3)\overrightarrow{AD}\).
Si \(k\neq3\), alors \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{k-3/2}{k-3}\overrightarrow{AB}\) : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) seraient colinéaires, ce qui est faux car \(ABCD\) est un vrai parallélogramme. Donc \(k=3\), et l'égalité devient \(\tfrac32\overrightarrow{AB}=\vec 0\), ce qui est faux.
Contradiction : \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{BD}\) ne sont pas colinéaires, donc \((BD)\) et \((EF)\) ne sont pas parallèles.
5. \(PECD\) est un parallélogramme et \((PD)\parallel(EF)\)
On veut montrer \(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{DC}\) : avec les lettres \(P,E\) puis \(C,D\) à l'envers, on obtient \(PECD\).
\(P\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\overrightarrow{AP}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\). Alors \(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AE}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac32\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\).
Or \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Ainsi \(\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{DC}\) et \(PECD\) est un parallélogramme (non aplati, car \(D\notin(AB)\)).
Dans ce parallélogramme, \(\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{EC}\) : les droites \((PD)\) et \((EC)\) sont parallèles. Comme \(E\), \(C\), \(F\) sont alignés, \((EC)=(EF)\). Donc \((PD)\parallel(EF)\).
Vérification par le calcul : \(\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), exactement l'expression de \(\overrightarrow{EC}\) trouvée à la question 2.
Les 6 réflexes à retenir
- Traduire chaque phrase en égalité vectorielle : « image de \(A\) par la translation de vecteur \(\vec u\) » devient \(\overrightarrow{AA'}=\vec u\).
- Égalité : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC\) parallélogramme. Attention à l'ordre des lettres.
- Construire une somme : même origine, règle du parallélogramme ; origines différentes, bout à bout.
- Simplifier : transformer les « − » en « + » en inversant les lettres, puis emboîter avec Chasles.
- Exprimer : passer par un point de référence avec Chasles, puis réduire comme en calcul littéral.
- Démontrer un parallélisme ou un alignement : montrer que \(\vec v=k\vec u\) et, pour l'alignement, citer le point commun.
Questions fréquentes
Comment démontrer que deux vecteurs sont égaux ?
Quelle différence entre vecteurs colinéaires et points alignés ?
Quand utiliser la règle du parallélogramme plutôt que Chasles ?
Ces exercices suffisent-ils pour le contrôle de Seconde ?
Les vecteurs bloquent encore ? On les reprend en groupe.
Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque construction et chaque rédaction est faite en séance, puis corrigée copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.
Pour aller plus loin
La Seconde, chapitre par chapitre.
Cours de maths en Seconde
Les bases à consolider et le choix de la spécialité maths.
Lire → Fiche · exercices corrigésCalcul : 5 exercices corrigés
Fractions, puissances, racines, identités remarquables.
Lire → StageStage de maths de la Toussaint
Un groupe de Seconde s'ouvre dès qu'il est complet.
Lire →