Terminale spécialité · Limites · Préparer le bac
Limites de fonctions : les 3 tableaux à connaître et 6 exercices type bac corrigés.
Les limites usuelles, les règles à citer en copie (par somme, par produit, par quotient, par composition…), le tableau « quelle méthode pour quelle limite », puis six exercices construits comme au bac, du quotient au changement de variable.
Les trois tableaux à connaître
Le premier donne les limites qu’on cite sans démonstration. Le deuxième donne les règles d’opérations et la phrase à écrire pour les justifier. Le troisième dit quoi faire quand une limite résiste. Les corrigés renvoient à leurs lignes.
Besoin de revoir le sens d’une limite, les asymptotes ou la lecture sur calculatrice ? Commence par la notion de limite.
Tableau 1 · Les limites usuelles
| Fonction | En \(-\infty\) | En \(0\) | En \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(x^n\), \(n\) pair | \(+\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\), \(n\) impair | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(\dfrac1x\) | \(0\) | \(0^-\) : \(-\infty\) \(0^+\) : \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\dfrac1{x^2}\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\sqrt x\) | non définie | \(0\) | \(+\infty\) |
| \(e^x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| \(\ln x\) | non définie | \(0^+\) : \(-\infty\) | \(+\infty\) |
Croissances comparées et limites remarquables
| Limite | Ce qu’il faut retenir |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\) | En \(+\infty\), l’exponentielle l’emporte sur toute puissance. |
| \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0\) | En \(-\infty\), l’exponentielle écrase toute puissance. |
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\) | En \(+\infty\), toute puissance l’emporte sur le logarithme. |
| \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0\) | En \(0^+\), la puissance l’emporte aussi. |
| \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\) | Nombre dérivé de \(e^x\) en 0. |
| \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\) | Nombre dérivé de \(\ln(1+x)\) en 0. |
Ici \(n\) est un entier naturel non nul.
Tableau 2 · Les règles et la phrase à écrire
Au bac, une limite juste sans sa justification perd des points. Chaque conclusion commence par le nom de la règle utilisée.
| Règle | Ce qu’elle dit | La phrase en copie |
|---|---|---|
| Par somme (ou différence) | \(\ell+\ell'\) ; \(\ell+\infty=+\infty\) ; \(+\infty+\infty=+\infty\). Forme indéterminée : \(+\infty-\infty\). | « \(\lim x^2=+\infty\) et \(\lim\frac3x=0\), donc par somme, \(\lim\left(x^2+\frac3x\right)=+\infty\). » |
| Par produit | \(\ell\times\ell'\) ; \(\ell\times\infty=\infty\) si \(\ell\neq0\), avec la règle des signes. Forme indéterminée : \(0\times\infty\). | « \(\lim(x-2)=+\infty\) et \(\lim e^x=+\infty\), donc par produit, \(\lim(x-2)e^x=+\infty\). » |
| Par quotient | \(\dfrac{\ell}{\infty}=0\) ; \(\dfrac{\ell}{0^+}=\pm\infty\) si \(\ell\neq0\), selon le signe. Formes indéterminées : \(\frac\infty\infty\) et \(\frac00\). | « \(\lim(2x+5)=13\) et \(\lim\limits_{x\to4^+}(x-4)=0^+\), donc par quotient, \(\lim\limits_{x\to4^+}\frac{2x+5}{x-4}=+\infty\). » |
| Par composition | Si \(u(x)\to b\) et \(g(X)\to c\) quand \(X\to b\), alors \(g(u(x))\to c\). C’est aussi la règle du changement de variable. | « \(\lim\limits_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty\) et \(\lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0\), donc par composition, \(\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0\). » |
| Par croissances comparées | Les limites de la deuxième partie du tableau 1. | « Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x=0\). » |
| Par comparaison | Si \(f(x)\geq g(x)\) et \(g(x)\to+\infty\), alors \(f(x)\to+\infty\) (et l’inverse pour \(-\infty\)). | « \(g(x)\geq x-1\) et \(\lim(x-1)=+\infty\), donc par comparaison, \(\lim g(x)=+\infty\). » |
| Par le théorème des gendarmes | Si \(u(x)\leq f(x)\leq v(x)\) et \(u\), \(v\) ont la même limite \(\ell\), alors \(f(x)\to\ell\). | « Les deux encadrants tendent vers 3, donc d’après le théorème des gendarmes, \(\lim f(x)=3\). » |
Tableau 3 · Quelle méthode pour quelle limite
Lis la première colonne : c’est ce que tu vois dans l’expression. La méthode suit.
| N° | Tu repères | Forme | Méthode | Exemple |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Un polynôme en \(\pm\infty\) | \(\infty-\infty\) | Factoriser par le terme de plus haut degré | \(x^3-5x^2+1=x^3\left(1-\frac5x+\frac1{x^3}\right)\to+\infty\) en \(+\infty\) |
| 2 | Un quotient de polynômes en \(\pm\infty\) | \(\dfrac\infty\infty\) | Factoriser en haut et en bas par leur terme de plus haut degré, puis simplifier | \(\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}=\dfrac{2+\frac1{x^2}}{1-\frac3{x^2}}\to2\) |
| 3 | Un quotient en une valeur interdite \(a\), numérateur non nul | \(\dfrac{k}{0}\) | Signe du dénominateur à gauche et à droite de \(a\) (tableau de signes) | \(\dfrac3{x-2}\to+\infty\) en \(2^+\), \(-\infty\) en \(2^-\) |
| 4 | Un quotient en \(a\) où le numérateur s’annule aussi | \(\dfrac00\) | Factoriser par \((x-a)\) en haut et en bas, puis simplifier | \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2\) en \(1\) |
| 5 | Une différence avec une racine | \(\infty-\infty\) | Multiplier par la quantité conjuguée | \(\sqrt{x+1}-\sqrt x=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt x}\to0\) |
| 6 | Une exponentielle face à une puissance | \(\dfrac\infty\infty\) \(0\times\infty\) \(\infty-\infty\) | Croissances comparées : faire apparaître \(\frac{e^x}{x^n}\) ou \(x^ne^x\) (en factorisant ou en développant) | \(e^x-x^2=x^2\left(\frac{e^x}{x^2}-1\right)\to+\infty\) |
| 7 | Un logarithme face à une puissance | \(\dfrac\infty\infty\) \(0\times\infty\) \(\infty-\infty\) | Croissances comparées : faire apparaître \(\frac{\ln x}{x^n}\) ou \(x^n\ln x\) | \(x-\ln x=x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\) |
| 8 | Une fonction composée : \(e^{u(x)}\), \(\ln(u(x))\), \(\sqrt{u(x)}\) | aucune | Limite de \(u(x)\) d’abord, puis limite de la fonction extérieure : par composition | \(-x^2\to-\infty\), donc \(e^{-x^2}\to0\) en \(+\infty\) |
| 9 | Une expression en \(\frac1x\), en \(\sqrt x\)… qui ne ressemble à rien de connu | souvent \(0\times\infty\) ou \(\dfrac\infty\infty\) | Changement de variable : poser \(X=u(x)\), dire où va \(X\), réécrire en \(X\), puis conclure par composition | \(X=\frac1x\to0^+\) : \(x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\dfrac{e^X-1}{X}\to1\) |
| 10 | Un \(\sin\) ou un \(\cos\) en \(\pm\infty\) | pas de limite | Encadrer : théorème de comparaison ou des gendarmes | \(-\frac1x\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac1x\), donc \(\frac{\sin x}{x}\to0\) |
| 11 | Un \(\frac00\) en \(a\) de la forme \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) | \(\dfrac00\) | Reconnaître un nombre dérivé : la limite vaut \(f'(a)\) | \(\dfrac{e^x-1}{x}\to e^0=1\) en \(0\) |
Appliquer une méthode avant d’avoir vérifié qu’il y a une forme indéterminée. Commence toujours par écrire la limite de chaque morceau et la règle (tableau 2) : souvent, il n’y a rien à lever.
6 exercices type bac
Chaque exercice est construit comme une question de bac. Dans les corrigés, la règle qui justifie chaque conclusion est écrite en orange : c’est elle qu’il faut recopier. Cherche sur papier avant d’ouvrir le corrigé, puis vérifie ton résultat à la calculatrice avec la méthode NumWorks.
Exercice 1 · Fonction rationnelle : trois cas en un
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1\,;1\}\) par \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2-1}\).
1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Interpréter graphiquement.
2. Déterminer les limites de \(f\) en \(-1\), à gauche et à droite. Interpréter.
3. a) Factoriser \(2x^2-3x+1\). b) En déduire la limite de \(f\) en \(1\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Cinq limites et leur traduction en asymptotes.
MéthodeTrois lignes du tableau 3 : ligne 2 en \(\pm\infty\), ligne 3 en \(-1\), ligne 4 en \(1\).
Le calcul, pas à pas
Le signe du dénominateur \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) décide :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2-1\) | + | 0 | − | 0 | + |
En 1, écrire « valeur interdite, donc asymptote verticale ». Le numérateur s’annule aussi : la forme est \(\frac00\) et la limite est finie. La courbe a un « trou » au point \(\left(1\,;\tfrac12\right)\), pas d’asymptote.
Contrôle. NumWorks : \(f(1{,}001)\approx0{,}5007\), \(f(-1{,}01)\approx302\), \(f(-0{,}99)\approx-298\), \(f(1000)\approx1{,}997\) ✓.
Exercice 2 · Exponentielle : croissances comparées
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(x-2)e^x+1\).
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
2. a) Développer \(f(x)\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Deux limites et une asymptote.
MéthodeEn \(+\infty\), pas de forme indéterminée. En \(-\infty\), forme \(\infty\times0\) : ligne 6 du tableau 3, croissances comparées.
Le calcul, pas à pas
La droite d’équation \(y=1\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(-\infty\).
Écrire « \(e^x\to0\), donc \((x-2)e^x\to0\) ». C’est une forme \(\infty\times0\) : la règle du produit ne s’applique pas, c’est la croissance comparée qui permet de conclure, et il faut la citer.
Contrôle. NumWorks : \(f(-10)\approx0{,}99946\) et \(f(-30)\approx0{,}999\,999\,999\,997\) ✓.
Exercice 3 · Logarithme : factoriser pour lever ∞ − ∞
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln x\).
1. Déterminer la limite de \(f\) en \(0\). Interpréter graphiquement.
2. a) Vérifier que pour tout \(x\gt0\), \(f(x)=x\left(1-\dfrac{2\ln x}{x}\right)\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Deux limites, aux deux bords de \(]0\,;+\infty[\).
MéthodeEn \(0^+\), limites usuelles. En \(+\infty\), forme \(\infty-\infty\) : ligne 7 du tableau 3, on factorise par \(x\) pour faire apparaître \(\frac{\ln x}{x}\).
Le calcul, pas à pas
En \(+\infty\), écrire « \(+\infty-\infty=0\) », ou conclure « \(x\) l’emporte » sans factoriser. La copie doit montrer la factorisation et citer la croissance comparée.
Contrôle. NumWorks : \(f(1000)\approx986{,}2\) et \(f(0{,}001)\approx13{,}8\) ✓.
Exercice 4 · Racine : la quantité conjuguée
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x\).
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\).
2. a) Montrer que pour tout \(x\gt0\), \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter graphiquement.
Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Deux limites, puis une asymptote.
MéthodeEn \(-\infty\), pas de forme indéterminée. En \(+\infty\), forme \(\infty-\infty\) avec une racine : ligne 5 du tableau 3, quantité conjuguée, puis ligne 2.
Le calcul, pas à pas
La droite d’équation \(y=\frac12\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C_f\) en \(+\infty\).
Écrire \(\sqrt{x^2}=x\) en \(-\infty\). En réalité \(\sqrt{x^2}=|x|\), qui vaut \(-x\) pour \(x\lt0\). C’est pour cela que la question 2 impose \(x\gt0\).
Contrôle. NumWorks : \(f(1000)\approx0{,}50037\) ✓.
Exercice 5 · Cosinus : comparaison et gendarmes
1. Soit \(g(x)=x-\cos x\) sur \(\mathbb R\). Montrer que pour tout réel \(x\), \(g(x)\geq x-1\), puis en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\).
2. Soit \(f(x)=\dfrac{3x+2\cos x}{x+1}\) sur \([0\,;+\infty[\). a) Montrer que pour tout \(x\geq0\) : \(\dfrac{3x-2}{x+1}\leq f(x)\leq\dfrac{3x+2}{x+1}\). b) En déduire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Deux limites où le cosinus empêche le calcul direct.
MéthodeLigne 10 du tableau 3 : \(\cos x\) n’a pas de limite, on l’encadre entre \(-1\) et \(1\), puis on utilise le théorème de comparaison (question 1) ou celui des gendarmes (question 2).
Le calcul, pas à pas
Chercher « la limite de \(\cos x\) en \(+\infty\) ». Elle n’existe pas : \(\cos x\) oscille entre \(-1\) et \(1\) sans se stabiliser. On ne la calcule pas, on l’encadre.
Contrôle. NumWorks : \(f(1000)\approx2{,}998\) ✓.
Exercice 6 · Changement de variable
Déterminer les limites suivantes à l’aide d’un changement de variable.
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)\), en posant \(X=\dfrac1x\).
2. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,e^{\frac1x}\), en posant \(X=\dfrac1x\).
3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}\), en posant \(X=\sqrt x\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Trois limites qui ne se lisent pas directement dans le tableau 1.
MéthodeLigne 9 du tableau 3. La rédaction suit toujours le même ordre : on pose \(X\), on dit où va \(X\), on réécrit l’expression en \(X\), on lit la limite en \(X\), puis on conclut par composition.
Le calcul, pas à pas
« Posons \(X=\frac1x\). Quand \(x\to+\infty\), \(X\to0^+\). Pour \(x\gt0\), \(x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\dfrac{e^X-1}{X}\). Or \(\displaystyle\lim_{X\to0}\frac{e^X-1}{X}=1\), donc par composition, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac1x}-1\right)=1\). »
Oublier de dire où va \(X\). C’est la ligne qui justifie tout le changement de variable. Dans la question 2, elle change tout : si \(x\to0^-\), alors \(X\to-\infty\) et la limite vaut \(0\), pas \(+\infty\).
Contrôle. NumWorks : \(1000\left(e^{0{,}001}-1\right)\approx1{,}0005\) et \(\dfrac{\ln(10^6)}{1000}\approx0{,}0138\) ✓.
Auto-test
Pour chaque limite, donne d’abord la ligne du tableau 3 et la règle du tableau 2, puis le résultat.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^3-x}{2x^3+7}\) ?
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}\) ?
\(\displaystyle\lim_{x\to3^-}\frac{2}{x-3}\) ?
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{1-x}\) ?
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)\) ?
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