Épreuve anticipée de maths · Sujet zéro · Spécialité
Sujet zéro n° 2 de spécialité maths : l’énoncé complet et le corrigé détaillé
Le deuxième sujet officiel de l’épreuve anticipée pour les élèves qui suivent la spécialité maths. Fais-le d’abord en conditions réelles, puis ouvre les corrections une par une : pour chaque question, la méthode, la rédaction attendue sur la copie et le piège qui coûte des points.
Sujet officiel publié par le ministère de l’Éducation nationale sur Éduscol, reproduit sous licence ouverte Etalab 2.0. Figures redessinées par Fovéa. Corrigé rédigé par Jimmy, professeur de maths.
2 heures, sans calculatrice, téléphone dans une autre pièce. Corrections fermées.
Vise 20 à 25 minutes pour les 12 automatismes, puis passe aux exercices.
Compare ta copie à la rédaction modèle, ligne par ligne, et note chaque point perdu.
Partie 1 · Automatismes (6 points)
Aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Reporte le numéro de la question et ta réponse sur ta copie.
On considère l’arbre de probabilité ci-contre. On cherche la probabilité de l’évènement \(B\). On a :
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Réponse aOn complète d’abord l’arbre : la somme des branches issues d’un même nœud vaut \(1\), donc \(p(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6\) et \(p_{\overline A}(B)=1-0{,}9=0{,}1\). L’évènement \(B\) est atteint par deux chemins. Formule des probabilités totales : \(p(B)=p(A\cap B)+p(\overline A\cap B)=0{,}4\times0{,}3+0{,}6\times0{,}1=0{,}12+0{,}06=0{,}18\).
Une tablette coûte \(200\) euros. Son prix diminue de \(30\,\%\). Le prix après cette diminution est :
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Réponse aDiminuer de \(30\,\%\), c’est multiplier par \(1-0{,}3=0{,}7\) : \(200\times0{,}7=140\). Le prix est de \(140\) euros.
Une réduction de \(50\,\%\) suivie d’une augmentation de \(50\,\%\) équivaut à :
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Réponse bLes coefficients multiplicateurs se multiplient : \(0{,}5\times1{,}5=0{,}75=1-0{,}25\). Au total, le prix baisse de \(25\,\%\). Exemple : \(100\) € devient \(50\) €, puis \(75\) €.
Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l’ensemble des élèves du lycée est égale à :
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Réponse bUne proportion d’une proportion se calcule par un produit : \(\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18=0{,}125\), soit \(12{,}5\,\%\).
On considère le nombre \(N=\dfrac{10^7}{5^2}\). On a :
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Réponse d\(5^2=25\) et \(10^7=10\,000\,000\). Diviser par \(25\), c’est multiplier par \(4\) puis diviser par \(100\) : \(N=\dfrac{4\times10^7}{100}=4\times10^5\). Autre écriture : \(10^7=2^7\times5^7\), donc \(N=2^7\times5^5=4\times(2\times5)^5=4\times10^5\).
Un appareil a besoin d’une énergie de \(7{,}5\times10^6\) joules (J) pour se mettre en route. À combien de kilowatts-heure (kWh) cela correspond-il ?
Données : \(1\) kWh \(=3{,}6\times10^6\) J.
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Réponse bLe nombre de kWh, c’est le nombre de fois que \(3{,}6\times10^6\) J « rentre » dans l’énergie : \(\dfrac{7{,}5\times10^6}{3{,}6\times10^6}=\dfrac{7{,}5}{3{,}6}\). Ordre de grandeur sans calculatrice : \(2\times3{,}6=7{,}2\), donc le résultat est un peu plus que \(2\) : \(2{,}08\) kWh.
Le plan est muni d’un repère orthogonal. On note \(d\) la droite passant par les points \(A(0\,;-1)\) et \(B(2\,;5)\). Le coefficient directeur de la droite \(d\) est égal à :
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Réponse c\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-(-1)}{2-0}=\dfrac62=3\).
On a représenté ci-contre une droite \(D\). Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite \(D\) est :
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Réponse cSur la figure, \(D\) est décroissante et passe par l’origine. On met chaque équation sous la forme \(y=mx+p\) : a donne \(y=2x\) (croissante) ; b donne \(y=-2x-1\) (ne passe pas par l’origine) ; d est croissante. Pour c, on développe : \(x^2-(x^2+2x+1)+1=-2x\). La droite d’équation \(y=-2x\) est décroissante et passe par l’origine : c’est la bonne.
On note \(\mathcal S\) l’ensemble des solutions de l’équation \(x^2=10\) sur \(\mathbb R\). On a :
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Réponse cPour \(a\gt0\), l’équation \(x^2=a\) a deux solutions : \(\sqrt a\) et \(-\sqrt a\). Ici \(\mathcal S=\{-\sqrt{10}\,;\sqrt{10}\}\).
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(3x-15)(x+2)\) admet pour tableau de signes :
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Réponse a\(f(x)=0\) quand \(3x-15=0\) ou \(x+2=0\), soit \(x=5\) ou \(x=-2\) : on élimine c et d. En développant, \(f(x)=3x^2-9x-30\) : c’est un polynôme du second degré de coefficient \(a=3\gt0\), donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Tableau a.
L’expression développée de \((2x+0{,}5)^2\) est :
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Réponse c\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=2x\) et \(b=0{,}5\) : \((2x)^2+2\times2x\times0{,}5+0{,}5^2=4x^2+2x+0{,}25\).
Lorsqu’un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon \(R\), en mètre (m), son accélération centripète \(a\) (en m/s²) s’exprime en fonction de la vitesse \(v\) (en m/s) de la manière suivante : \(a=\dfrac{v^2}{R}\). L’expression permettant, à partir de cette formule, d’exprimer la vitesse \(v\) est :
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Réponse bOn multiplie les deux membres par \(R\) : \(v^2=aR\). La vitesse est positive, donc \(v=\sqrt{aR}\). Contrôle avec les unités : \(\sqrt{\text{m/s}^2\times\text{m}}=\sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2}=\) m/s.
Partie 2 · Exercices (14 points)
Les points de chaque exercice ne sont pas précisés dans le sujet zéro. Ici, chaque justification compte : la rédaction modèle montre ce qu’on attend réellement sur la copie.
En 2020, une ville comptait \(10\,000\) habitants. On modélise l’évolution du nombre d’habitants de cette ville par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=10\,000\) et, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_{n+1}=1{,}08\,u_n-300\), où \(u_n\) représente le nombre d’habitants pour l’année \(2020+n\).
1. Indiquer ce que représente \(u_1\) et calculer sa valeur.
2. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=u_n-3\,750\).
a. Déterminer \(v_0\).
b. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), on a \(v_{n+1}=1{,}08\,v_n\).
c. En déduire la nature de la suite \((v_n)\).
d. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
e. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=6\,250\times1{,}08^n+3\,750\).
Aide au calcul : \(10\,000-3\,750=6\,250\) ; \(1{,}08\times4\,050=4\,374\) ; \(\dfrac{4\,050}{1{,}08}=3\,750\) ; \(3\,750\times1{,}08=4\,050\).
Correction des questions 1 et 2
1. \(u_1\) est le nombre d’habitants en \(2020+1=2021\). \(u_1=1{,}08\times10\,000-300=10\,800-300=10\,500\).
2.a. \(v_0=u_0-3\,750=10\,000-3\,750=6\,250\).
2.b. Pour tout entier naturel \(n\) :
\(v_{n+1}=u_{n+1}-3\,750=1{,}08\,u_n-300-3\,750=1{,}08\,u_n-4\,050\).
Or \(4\,050=1{,}08\times3\,750\), donc \(v_{n+1}=1{,}08\,u_n-1{,}08\times3\,750=1{,}08\,(u_n-3\,750)=1{,}08\,v_n\).
2.c. Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=1{,}08\,v_n\) : la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=1{,}08\) et de premier terme \(v_0=6\,250\).
2.d. D’après le cours, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times q^n=6\,250\times1{,}08^n\).
2.e. Comme \(v_n=u_n-3\,750\), on a \(u_n=v_n+3\,750=6\,250\times1{,}08^n+3\,750\).
En 2.b, une chaîne d’égalités qui part de \(v_{n+1}\) et arrive à \(1{,}08\,v_n\), avec la factorisation par \(1{,}08\) écrite (c’est là que sert l’aide au calcul). En 2.c, la raison et le premier terme.
3. Le tableau ci-contre, extrait d’une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 : =6250*1,08^A2+3750.
La municipalité envisage d’ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra \(19\,000\) habitants. La construction d’un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l’année à partir de laquelle la construction de l’école doit commencer.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | n | Un |
| 2 | 0 | 10000 |
| 3 | 1 | 10500 |
| 4 | 2 | 11040 |
| 5 | 3 | 11623,2 |
| 6 | 4 | 12253,056 |
| 7 | 5 | 12933,30048 |
| 8 | 6 | 13667,96452 |
| 9 | 7 | 14461,40168 |
| 10 | 8 | 15318,31381 |
| 11 | 9 | 16243,77892 |
| 12 | 10 | 17243,28123 |
| 13 | 11 | 18322,74373 |
| 14 | 12 | 19488,56323 |
| 15 | 13 | 20747,64829 |
| 16 | 14 | 22107,46015 |
Correction de la question 3
On lit dans le tableau : \(u_{11}\approx18\,322{,}7\lt19\,000\) et \(u_{12}\approx19\,488{,}6\geqslant19\,000\). La population atteint \(19\,000\) habitants pour la première fois pour \(n=12\), c’est-à-dire en \(2020+12=2032\).
La construction dure deux ans : elle doit commencer en \(2032-2=\)\(2030\) pour que l’école ouvre en 2032.
Les deux valeurs encadrantes lues dans le tableau, le passage du rang \(n=12\) à l’année 2032, puis la prise en compte des deux ans de construction.
Le plan est muni d’un repère orthogonal.
Partie A
On considère la fonction \(P\) définie sur l’intervalle \([-5\,;3]\) par \(P(x)=2x^2+x-10\).
1. a. Déterminer les racines de \(P\).
b. En déduire l’axe de symétrie de la parabole d’équation \(y=P(x)\).
2. Établir le tableau de signe de la fonction \(P\) sur l’intervalle \([-5\,;3]\).
Correction de la partie A
1.a. \(P\) est un polynôme du second degré avec \(a=2\), \(b=1\), \(c=-10\). \(\Delta=b^2-4ac=1+80=81\gt0\) : deux racines, \(x_1=\dfrac{-1-\sqrt{81}}{4}=\dfrac{-10}4=-2{,}5\) et \(x_2=\dfrac{-1+9}4=2\).
1.b. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par le milieu des racines : \(x=\dfrac{-2{,}5+2}2=-0{,}25\). L’axe de symétrie est la droite d’équation \(x=-0{,}25\) (on retrouve \(-\dfrac b{2a}=-\dfrac14\)).
2. \(a=2\gt0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\), donc positif, à l’extérieur des racines, et négatif entre elles.
En 1.a, le calcul de \(\Delta\) écrit, puis les deux racines. En 1.b, le lien avec les racines (« en déduire ») : le milieu des racines. En 2, la règle du signe de \(a\) citée.
Partie B
On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \([-5\,;3]\) dont on donne ci-contre la courbe représentative \(C_f\). La tangente \(T\) à la courbe \(C_f\) au point \(A\) d’abscisse \(2\) est horizontale.
1. Donner la valeur du nombre dérivé \(f'(2)\).
2. Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l’inéquation \(f(x)\lt0\).
3. On sait que la fonction \(f\) a pour expression sur l’intervalle \([-5\,;3]\) : \(f(x)=(4x^2-14x+8)\,\mathrm e^{0{,}5x}\). Démontrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([-5\,;3]\), on a \(f'(x)=P(x)\,\mathrm e^{0{,}5x}\).
4. En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([-5\,;3]\). (Il n’est pas demandé de calculer les images.)
Correction de la partie B
1. \(f'(2)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse \(2\). Cette tangente est horizontale, donc \(f'(2)=0\).
2. \(f(x)\lt0\) quand la courbe est strictement en dessous de l’axe des abscisses. Graphiquement, cela se produit entre \(x\approx0{,}7\) et \(x\approx2{,}8\) : \(\mathcal S\approx\,]0{,}7\,;2{,}8[\).
3. \(f=uv\) avec \(u(x)=4x^2-14x+8\) et \(v(x)=\mathrm e^{0{,}5x}\). On a \(u'(x)=8x-14\) et \(v'(x)=0{,}5\,\mathrm e^{0{,}5x}\) (dérivée de \(\mathrm e^{ax+b}\) : \(a\,\mathrm e^{ax+b}\)). Donc
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(8x-14)\,\mathrm e^{0{,}5x}+(4x^2-14x+8)\times0{,}5\,\mathrm e^{0{,}5x}\)
\(=(8x-14+2x^2-7x+4)\,\mathrm e^{0{,}5x}=(2x^2+x-10)\,\mathrm e^{0{,}5x}=P(x)\,\mathrm e^{0{,}5x}\).
4. Pour tout réel \(x\), \(\mathrm e^{0{,}5x}\gt0\) : \(f'(x)\) est du signe de \(P(x)\), donné par la partie A.
\(f\) est croissante sur \([-5\,;-2{,}5]\), décroissante sur \([-2{,}5\,;2]\) et croissante sur \([2\,;3]\).
En 2, des crochets ouverts (inégalité stricte) et des valeurs approchées cohérentes avec le graphique. En 3, la formule \((uv)'=u'v+uv'\) écrite avec \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\), puis la factorisation par \(\mathrm e^{0{,}5x}\). En 4, l’argument « \(\mathrm e^{0{,}5x}\gt0\) » : c’est lui qui relie le signe de \(f'\) à celui de \(P\).
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Questions fréquentes
Ce sujet correspond-il à l’épreuve de juin 2027 ?
Il en donne le niveau et la structure : une partie d’automatismes sur 6 points, puis des exercices sur 14 points, sans calculatrice, en 2 heures. En juin 2027, les automatismes ne seront plus un QCM mais des questions à réponse courte (note de service du 11 septembre 2026).
Combien de temps passer sur les automatismes ?
20 à 25 minutes. Au-delà, passe aux exercices et reviens aux questions bloquantes à la fin : une question d’automatisme rapporte autant qu’une autre, et les exercices demandent du temps de rédaction.
Je suis en voie technologique ou sans spé maths : ce sujet est-il pour moi ?
Non : il y a trois sujets différents, un par programme de Première. Prends le sujet de ta voie dans le guide de l’épreuve anticipée.
Sources : Éduscol, épreuve anticipée de mathématiques · Note de service du 11 septembre 2026 (BO spécial n° 4) · Sujet zéro spécialité n° 2, licence Etalab 2.0.