Épreuve anticipée · Fiche spécialité maths

Dérivation et variations : nombre dérivé, dérivabilité, étude de fonction. 9 exercices corrigés.

Le jour de l’épreuve, la dérivée n’est jamais une fin en soi : elle sert à dresser un tableau de variations. Cette fiche va du nombre dérivé calculé à la main jusqu’à l’étude complète d’une fonction, sans calculatrice, avec la rédaction attendue.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 22 octobre 2026 · Durée : 1 h 30 · Sources officielles citées en fin de page

Commencer l’exercice 1 →Revoir le cours d’abord

L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

1. Le nombre dérivé

Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\). Quand \(h\) tend vers 0, si ce quotient tend vers un nombre réel, ce nombre est le nombre dérivé \(f'(a)\).

Graphiquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\).

2. La dérivabilité

\(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux d’accroissement admet une limite finie quand \(h\) tend vers 0. Elle est dérivable sur un intervalle \(I\) si elle l’est en tout point de \(I\) ; la fonction \(f' : x\mapsto f'(x)\) est alors sa fonction dérivée.

Deux cas où ça échoue, à connaître : \(\sqrt x\) en 0 (le taux part vers \(+\infty\), tangente verticale) et \(|x|\) en 0 (le taux vaut \(1\) à droite et \(-1\) à gauche, pas de limite unique). Exercice 4.

3. L’équation de la tangente

\[y=\ca{f'(a)}(x-a)+\cb{f(a)}\]

Il faut deux nombres : la pente \(f'(a)\) et l’ordonnée du point \(f(a)\).

4. Les dérivées des fonctions usuelles

FonctionDérivéeDérivable sur
\(k\) (constante)\(0\)\(\mathbb R\)
\(x\)\(1\)\(\mathbb R\)
\(x^2\)\(2x\)\(\mathbb R\)
\(x^n\)\(nx^{n-1}\)\(\mathbb R\)
\(\dfrac1x\)\(-\dfrac1{x^2}\)\(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\)
\(\sqrt x\)\(\dfrac1{2\sqrt x}\)\(]0\,;+\infty[\) (pas en 0)
\(e^x\)\(e^x\)\(\mathbb R\)

5. Les opérations

FormeDérivée
\(u+v\)\(u'+v'\)
\(ku\)\(ku'\)
\(uv\)\(u'v+uv'\)
\(\dfrac1v\)\(-\dfrac{v'}{v^2}\)
\(\dfrac uv\)\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
\(g(ax+b)\)\(a\,g'(ax+b)\)

\((uv)'=u'v'\). La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.

6. Signe de la dérivée et variations

Sur un intervalle \(I\) : si \(f'(x)\geqslant0\), \(f\) est croissante ; si \(f'(x)\leqslant0\), \(f\) est décroissante ; si \(f'(x)=0\), \(f\) est constante. Si \(f'\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(a\).

La méthode en quatre étapes
  1. Dériver \(f\) et simplifier \(f'(x)\).
  2. Factoriser \(f'(x)\) pour pouvoir étudier son signe.
  3. Dresser le tableau de signes de \(f'(x)\), puis en déduire les variations de \(f\).
  4. Calculer les valeurs aux bornes et aux extremums, et les reporter dans le tableau.
Piège classique

Conclure sans étudier le signe : « \(f'(x)=3x^2-3\) donc \(f\) est croissante » est faux. C’est le signe de \(f'\) qui décide, pas sa forme.

Les exercices

Les quatre premiers construisent les formules à la main. Les trois suivants les appliquent. Les deux derniers sont au format de l’épreuve : une étude de fonction complète, rédigée.

Exercice 1 · Nombre dérivé de x², en tout point

Niveau ★★★ Réflexe

Soit \(f(x)=x^2\) et \(a\) un réel quelconque. Calculer le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\), puis en déduire \(f'(a)\). Que retrouve-t-on ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Une expression en \(a\) et \(h\), puis sa limite quand \(h\) tend vers 0.

Méthode

On remplace \(x\) par \(a+h\), on développe avec \((a+b)^2\), puis on simplifie par \(h\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(a+h)=(a+h)^2=a^2+2ah+h^2\)
Identité \((a+b)^2\).
\(\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\)
\(f(a)=a^2\).
\(\displaystyle =\frac{\ca h(2a+h)}{\ca h}=2a+h\)
On factorise par \(h\), puis on simplifie (\(h\neq0\)).
\(\displaystyle \cb{f'(a)=2a}\)
Quand \(h\) tend vers 0, \(2a+h\) tend vers \(2a\).

Le calcul marche pour tout réel \(a\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et sa fonction dérivée est \(f'(x)=2x\). C’est la ligne \(x^2\) du tableau, démontrée.

Piège classique

Remplacer \(h\) par 0 avant d’avoir simplifié : on obtient \(\frac00\), qui n’a pas de sens.

Contrôle. Avec \(a=3\) : \(f'(3)=6\), la pente de la parabole au point \((3\,;9)\) ✓.

Exercice 2 · Nombre dérivé de la fonction inverse

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=\dfrac1x\). Calculer le taux d’accroissement entre 2 et \(2+h\), puis \(f'(2)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Une expression en \(h\) simplifiée, puis sa limite.

Méthode

Le numérateur est une différence de fractions : même dénominateur, puis on divise par \(h\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(2+h)-f(2)=\frac{1}{2+h}-\frac12\)
\(\displaystyle =\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}\)
Dénominateur commun \(2(2+h)\).
\(\displaystyle \frac{-h}{2(2+h)}\times\frac1h=\frac{-1}{2(2+h)}\)
Diviser par \(h\), c’est multiplier par \(\frac1h\).
\(\displaystyle \cb{f'(2)=-\frac14}\)
Quand \(h\to0\) : \(\frac{-1}{2\times2}\).
Piège classique

Écrire \(\frac{1}{2+h}=\frac12+\frac1h\). Une fraction ne se coupe pas sur une somme au dénominateur.

Contrôle. Formule : \(f'(x)=-\frac1{x^2}\), donc \(f'(2)=-\frac14\) ✓.

Exercice 3 · Nombre dérivé de la racine carrée

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=\sqrt x\) et \(a\gt0\). Montrer que le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) vaut \(\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\), puis en déduire \(f'(a)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Une écriture du taux sans \(h\) seul au dénominateur, puis sa limite.

Méthode

Avec une différence de racines, on multiplie en haut et en bas par l’expression conjuguée \(\sqrt{a+h}+\sqrt a\), pour utiliser \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt a)\ca{(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}}{h\ca{(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}}\)
On multiplie par la quantité conjuguée.
\(\displaystyle =\frac{(a+h)-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}=\frac{h}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}\)
\((\sqrt{a+h})^2=a+h\) car \(a+h\geqslant0\).
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\)
On simplifie par \(h\neq0\).
\(\displaystyle \cb{f'(a)=\frac{1}{2\sqrt a}}\)
Quand \(h\to0\), \(\sqrt{a+h}\) tend vers \(\sqrt a\).
Piège classique

Écrire \(\sqrt{a+h}=\sqrt a+\sqrt h\). C’est faux : \(\sqrt{9+16}=5\), pas \(3+4\).

Contrôle. Avec \(a=4\) : \(f'(4)=\frac1{2\times2}=\frac14\), positif, cohérent avec une fonction croissante ✓. Le calcul exige \(a\gt0\) : en 0, la formule n’a pas de sens. C’est l’exercice suivant.

Exercice 4 · Dérivable ou pas ? √x et |x| en 0

Niveau ★★★ Application

a) La fonction \(f(x)=\sqrt x\) est-elle dérivable en 0 ?
b) La fonction valeur absolue \(g(x)=|x|\) est-elle dérivable en 0 ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Si le taux d’accroissement en 0 admet une limite finie.

Méthode

On écrit le taux entre 0 et \(h\), on le simplifie, et on regarde ce qu’il devient quand \(h\) tend vers 0.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \frac{\sqrt h-\sqrt0}{h}=\frac{\sqrt h}{\sqrt h\times\sqrt h}=\frac{1}{\sqrt h}\)
a) \(h\gt0\) obligatoirement, et \(h=\sqrt h\times\sqrt h\).
\(\displaystyle \frac1{\sqrt h}\ \text{devient aussi grand qu’on veut}\)
\(h=0{,}0001\) donne \(100\) ; \(h=10^{-8}\) donne \(10\,000\).
\(\displaystyle \cb{\sqrt x\ \text{n’est pas dérivable en }0}\)
Pas de limite finie. La tangente en 0 est verticale.
\(\displaystyle \frac{|h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}\)
b) Le taux de \(g\) entre 0 et \(h\).
\(\displaystyle \frac{|h|}{h}=\ca1\ \text{si } h\gt0,\qquad \frac{|h|}{h}=\ca{-1}\ \text{si } h\lt0\)
\(|h|=h\) si \(h\gt0\), \(|h|=-h\) si \(h\lt0\).
\(\displaystyle \cb{|x|\ \text{n’est pas dérivable en }0}\)
Deux valeurs différentes selon le côté : pas de limite unique.
Piège classique

Croire qu’une fonction définie en un point y est forcément dérivable. \(\sqrt x\) et \(|x|\) sont définies en 0, mais pas dérivables en 0.

Contrôle. Graphiquement, la courbe de \(|x|\) fait un angle en 0 (pentes \(-1\) puis \(1\)), et celle de \(\sqrt x\) part à la verticale ✓.

Exercice 5 · Dérivée d’un produit

Niveau ★★★ Application

Dériver \(f(x)=(2x+1)(x^2-3)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

\(f'(x)\) réduite.

Méthode

Produit \(uv\) avec \(u=2x+1\) et \(v=x^2-3\) : \((uv)'=u'v+uv'\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u'=2,\quad v'=2x\)
On dérive chaque facteur.
\(\displaystyle f'(x)=\ca2(x^2-3)+(2x+1)\ca{\times2x}\)
\(u'v+uv'\).
\(\displaystyle =2x^2-6+4x^2+2x\)
On développe.
\(\displaystyle =6x^2+2x-6\)
On réduit.
Piège classique

Écrire \(f'(x)=2\times2x=4x\), le produit des dérivées.

Contrôle. On développe d’abord \(f\) : \(2x^3+x^2-6x-3\), dont la dérivée est \(6x^2+2x-6\) ✓.

Exercice 6 · Dérivée d’un quotient

Niveau ★★★ Application

Dériver \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\) pour \(x\neq-2\), puis en déduire les variations de \(f\) sur \(]-2\,;+\infty[\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

\(f'(x)\) sous la forme la plus simple, puis son signe.

Méthode

Quotient \(\frac uv\) avec \(u=3x-1\), \(v=x+2\) : \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). On garde \(v^2\) factorisé : son signe se lit tout seul.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle u'=3,\quad v'=1\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{3(x+2)\ca-(3x-1)\times1}{(x+2)^2}\)
Attention au moins : il porte sur tout \(uv'\).
\(\displaystyle =\frac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2}\)
Le moins change les signes de \(3x-1\).
\(\displaystyle \cb{f'(x)=\frac{7}{(x+2)^2}}\)

Le numérateur 7 est positif et un carré non nul est positif : \(f'(x)\gt0\), donc \(f\) est croissante sur \(]-2\,;+\infty[\).

Piège classique

Écrire \(3x+6-3x-1\) : seul le premier terme a changé de signe. On trouverait 5 au lieu de 7.

Contrôle. \(f(0)=-\frac12\) et \(f(1)=\frac23\) : la fonction monte bien entre 0 et 1 ✓.

Exercice 7 · Équation d’une tangente

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=x^2-3x+1\). Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Une équation de la forme \(y=mx+p\).

Méthode

Formule \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) avec \(a=2\) : il faut calculer \(f(2)\) et \(f'(2)\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(2)=4-6+1=-1\)
L’ordonnée du point.
\(\displaystyle f'(x)=2x-3,\quad f'(2)=1\)
La pente.
\(\displaystyle y=\ca1(x-2)+(\cb{-1})\)
On remplace dans la formule.
\(\displaystyle y=x-3\)
On développe et on réduit.
Piège classique

Écrire \(y=f'(x)(x-a)+f(a)\) avec \(f'(x)\) au lieu de \(f'(a)\) : on n’obtient pas une droite.

Contrôle. La tangente passe par le point de la courbe : avec \(x=2\), \(y=2-3=-1=f(2)\) ✓.

Exercice 8 · Étude d’un polynôme de degré 3

Niveau ★★★ Format épreuve

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;2]\) par \(f(x)=x^3-3x+1\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et montrer que \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\).
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-2\,;2]\).
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
  4. Quel est le maximum de \(f\) sur \([-2\,;2]\) ? En quelles valeurs est-il atteint ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Une étude complète : dérivée factorisée, signe, variations, tangente, extremum.

Méthode

Les quatre étapes du cours. La question 1 donne la forme factorisée : on la vérifie, on ne la refait pas autrement.

1. La dérivée

\(\displaystyle f'(x)=3x^2-3\)
\((x^3)'=3x^2\), \((-3x)'=-3\), \((1)'=0\).
\(\displaystyle =\ca3(x^2-1)\)
On factorise par 3.
\(\displaystyle \cb{f'(x)=3(x-1)(x+1)}\)
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), identité \(a^2-b^2\).

2. Signe de f′ et variations

3 est positif. \(x+1\) s’annule en \(-1\), \(x-1\) s’annule en \(1\) : on étudie le signe de chaque facteur, puis la règle des signes donne celui du produit.

\(x\)\(-2\)\(-1\)\(1\)\(2\)
\(x+1\)−0++
\(x-1\)−−0+
\(f'(x)\)+0−0+
\(f(x)\)\(-1\)↗\(3\)↘\(-1\)↗\(3\)
\(\displaystyle f(-2)=-8+6+1=-1\)
Borne gauche.
\(\displaystyle f(-1)=-1+3+1=3\)
Maximum local.
\(\displaystyle f(1)=1-3+1=-1\)
Minimum local.
\(\displaystyle f(2)=8-6+1=3\)
Borne droite.

Rédaction attendue. \(f\) est croissante sur \([-2\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;2]\).

3. La tangente en 0

\(\displaystyle f(0)=1,\quad f'(0)=3\times(-1)\times1=-3\)
On utilise la forme factorisée.
\(\displaystyle y=\ca{-3}(x-0)+\cb1=-3x+1\)
\(y=f'(0)(x-0)+f(0)\).

4. Le maximum

D’après le tableau, la plus grande valeur prise par \(f\) sur \([-2\,;2]\) est \(3\), atteinte en \(x=-1\) et en \(x=2\).

Piège classique

Oublier les bornes. Le maximum local en \(-1\) vaut 3, mais \(f(2)\) aussi : sans calculer \(f(2)\), on rate une réponse.

Contrôle. \(f'(-1)=3\times(-2)\times0=0\) et \(f'(1)=0\) : les extremums sont bien là où \(f'\) s’annule en changeant de signe ✓.

Exercice 9 · Étude de x + 4/x et minimum

Niveau ★★★ Format épreuve

On considère la fonction \(f\) définie sur \([1\,;5]\) par \(f(x)=x+\dfrac4x\).

  1. Montrer que pour tout \(x\) de \([1\,;5]\), \(f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([1\,;5]\).
  3. En déduire que pour tout \(x\) de \([1\,;5]\), \(x+\dfrac4x\geqslant4\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 9
Ce qu’on cherche

Une dérivée sous forme d’un seul quotient, son signe, puis un minimum qui démontre une inégalité.

Méthode

Somme \(x+4\times\frac1x\), dérivée terme par terme, puis réduction au même dénominateur pour pouvoir étudier le signe.

1. La dérivée

\(\displaystyle f'(x)=1+4\times\left(-\frac1{x^2}\right)=1-\frac4{x^2}\)
\((x)'=1\) et \(\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}\).
\(\displaystyle =\frac{\ca{x^2}}{\ca{x^2}}-\frac4{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}\)
Même dénominateur.
\(\displaystyle \cb{f'(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}}\)
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

2. Signe de f′ et variations

Sur \([1\,;5]\), \(x^2\gt0\) et \(x+2\gt0\) : \(f'(x)\) a le signe de \(x-2\), qui s’annule en 2.

\(x\)\(1\)\(2\)\(5\)
\(x-2\)−0+
\(f'(x)\)−0+
\(f(x)\)\(5\)↘\(4\)↗\(\dfrac{29}{5}\)
\(\displaystyle f(1)=1+4=5\)
\(\displaystyle f(2)=2+\frac42=4\)
Minimum.
\(\displaystyle f(5)=5+\frac45=\frac{29}{5}\)
Sans calculatrice, on garde la fraction.

Rédaction attendue. \(f\) est décroissante sur \([1\,;2]\) et croissante sur \([2\,;5]\).

3. L’inégalité

D’après le tableau, \(f\) admet sur \([1\,;5]\) un minimum égal à \(f(2)=4\). Donc pour tout \(x\) de \([1\,;5]\), \(f(x)\geqslant4\), c’est-à-dire \(x+\dfrac4x\geqslant4\).

Piège classique

Affirmer « \(f'\) a le signe de \(x-2\) » sans justifier que \(x^2\) et \(x+2\) sont positifs. C’est cette phrase qui rapporte le point.

Contrôle. \(f(4)=4+1=5\geqslant4\) ✓ et \(f(3)=3+\frac43=\frac{13}3\geqslant4\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à un sujet complet. Sinon, refais les exercices concernés.

Nombre dérivé de \(x^2\) en \(a=5\) ?
\(f'(5)=2\times5=10\) (exercice 1).
\(\sqrt x\) est-elle dérivable en 0 ?
Non : le taux d’accroissement vaut \(\frac1{\sqrt h}\), qui n’a pas de limite finie (exercice 4).
\(f'\) s’annule en 1 en passant de \(-\) à \(+\). Que dire de \(f\) en 1 ?
\(f\) décroît puis croît : elle admet un minimum local en 1 (exercices 8 et 9).

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