Fiche de méthode · Seconde

Droites et systèmes en Seconde : équations, parallélisme, intersection. 8 exercices corrigés.

Équation réduite et équation cartésienne, vecteur directeur, droites parallèles, résolution d’un système de deux équations à deux inconnues et point d’intersection. La suite directe du chapitre vecteurs, expliquée pas à pas.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Cette fiche prolonge la fiche vecteurs : une droite est entièrement déterminée par un point et une direction, c’est-à-dire un vecteur directeur.

1. Équation réduite

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme \(y=mx+p\) : \(m\) est le coefficient directeur (la pente), \(p\) l’ordonnée à l’origine. Une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation \(x=c\).

\[m=\frac{y_B-y_A}{\ca{x_B-x_A}}\qquad(x_A\neq x_B)\]

2. Équation cartésienne et vecteur directeur

Toute droite a une équation de la forme \(ax+by+c=0\) (avec \(a\) et \(b\) non tous les deux nuls). Le vecteur \(\vec u(-b\,;a)\) est alors un vecteur directeur. Réciproquement, la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) est l’ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires :

\[\vec u(x\,;y)\ \text{et}\ \vec v(x'\,;y')\ \text{colinéaires}\iff xy'-x'y=0\]

3. Positions relatives et systèmes

  • Deux droites \(y=mx+p\) et \(y=m'x+p'\) sont parallèles si et seulement si \(m=m'\).
  • Deux droites sécantes se coupent en un point unique, dont les coordonnées sont la solution du système formé par leurs deux équations.
  • Deux droites parallèles distinctes donnent un système sans solution ; deux droites confondues, une infinité de solutions.

Pour résoudre un système, deux méthodes : la substitution (on exprime une inconnue en fonction de l’autre) et la combinaison (on additionne les équations multipliées par des nombres bien choisis pour éliminer une inconnue).

Une équation de droite est unique. Faux pour l’équation cartésienne : \(2x-y+1=0\) et \(4x-2y+2=0\) décrivent la même droite. L’équation réduite, elle, est unique.

La méthode en trois questions
  1. Que connaît-on ? Deux points, un point et une pente, ou un point et un vecteur directeur.
  2. Quelle forme demande-t-on ? Réduite (\(y=mx+p\)) ou cartésienne (\(ax+by+c=0\)).
  3. Comment vérifier ? On remplace les coordonnées des points connus dans l’équation trouvée.
Piège classique

Inverser le quotient du coefficient directeur et calculer \(\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}\). La pente mesure de combien on monte quand on avance de 1 : les ordonnées sont au numérateur.

Les exercices

Dans chaque exercice, termine par une vérification avec un point connu : elle prend dix secondes et rattrape la plupart des erreurs de signe.

Exercice 1 · Lire une équation réduite

Niveau ★★★ Réflexe

On considère la droite \(d\) d’équation \(y=3x-2\).

  1. Donner son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.
  2. Calculer les coordonnées de deux points de \(d\).
  3. Le point \(A(2\,;4)\) appartient-il à \(d\) ? Et \(B(-1\,;-4)\) ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Deux paramètres, deux points, deux vérifications.

Méthode

Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l’équation.

Le raisonnement, pas à pas

\(\displaystyle m=\cb{3}\ ;\ p=\cb{-2}\)
1. Lecture directe de \(y=mx+p\).
\(\displaystyle (0\,;-2)\ \text{et}\ (1\,;1)\)
2. Avec \(x=0\), puis \(x=1\) : \(3\times1-2=1\).
\(\displaystyle 3\times2-2=4\)
3. \(\cb{A\in d}\).
\(\displaystyle 3\times(-1)-2=\ca{-5}\neq-4\)
\(\cb{B\notin d}\).
Piège classique

Prendre \(p=2\) en oubliant le signe. Dans \(y=3x-2\), l’ordonnée à l’origine est \(-2\) : la droite coupe l’axe des ordonnées sous l’origine.

Contrôle. Entre \((0\,;-2)\) et \((1\,;1)\), on monte de 3 quand on avance de 1 : c’est bien la pente ✓.

Exercice 2 · Équation d’une droite par deux points

Niveau ★★★ Réflexe

a) Déterminer l’équation réduite de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;2)\) et \(B(3\,;8)\).
b) Même question avec \(C(2\,;5)\) et \(D(2\,;-1)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Deux équations de droites.

Méthode

On calcule \(m\), puis \(p\) avec l’un des points. Si les abscisses sont égales, la droite est verticale.

a) La droite \((AB)\)

\(\displaystyle m=\frac{8-2}{\ca{3-1}}=\frac62=3\)
\(\displaystyle 2=3\times1+p\iff p=-1\)
On utilise \(A\).
\(\displaystyle \cb{y=3x-1}\)

b) La droite \((CD)\)

\(x_C=x_D=2\) : le coefficient directeur n’existe pas (division par 0). La droite est parallèle à l’axe des ordonnées, d’équation \(\cb{x=2}\).

Piège classique

Question b) : écrire \(y=2\). C’est une droite horizontale ; ici tous les points ont la même abscisse 2.

Contrôle. \(3\times3-1=8\) : \(B\) est bien sur \((AB)\) ✓.

Exercice 3 · Équation cartésienne et vecteur directeur

Niveau ★★★ Application

Soit \(d\) la droite d’équation \(2x-3y+6=0\).

  1. Donner un vecteur directeur de \(d\).
  2. Déterminer les points d’intersection de \(d\) avec les deux axes.
  3. Donner l’équation réduite de \(d\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Un vecteur, deux points, une équation réduite.

Méthode

Avec \(ax+by+c=0\), \(\vec u(-b\,;a)\) dirige la droite. Pour l’équation réduite, on isole \(y\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle a=2,\ b=-3\ \Rightarrow\ \vec u(\ca{3}\,;2)\)
1. \(-b=3\).
\(\displaystyle x=0\ :\ -3y+6=0\iff y=2\)
2. Avec l’axe des ordonnées : \(\cb{(0\,;2)}\).
\(\displaystyle y=0\ :\ 2x+6=0\iff x=-3\)
Avec l’axe des abscisses : \(\cb{(-3\,;0)}\).
\(\displaystyle 3y=2x+6\iff \cb{y=\tfrac23x+2}\)
3. On isole \(y\).
Piège classique

Donner \(\vec u(2\,;-3)\), les coefficients tels quels. Le vecteur directeur est \((-b\,;a)\) : on échange et on change un signe.

Contrôle. De \((-3\,;0)\) à \((0\,;2)\), le déplacement est \((3\,;2)\) : c’est bien \(\vec u\) ✓. Pente \(\frac23\) ✓.

Exercice 4 · Droite par un point et un vecteur

Niveau ★★★ Application

Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(1\,;-2)\) et de vecteur directeur \(\vec u(4\,;1)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Une équation \(ax+by+c=0\).

Méthode

\(M(x\,;y)\in d\iff\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) colinéaires, ce qui se traduit par le critère \(xy'-x'y=0\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \overrightarrow{AM}(x-1\,;y+2)\)
Coordonnées : arrivée moins départ.
\(\displaystyle (x-1)\times1-(y+2)\times\ca{4}=0\)
Critère de colinéarité avec \(\vec u(4\,;1)\).
\(\displaystyle x-1-4y-8=0\iff\cb{x-4y-9=0}\)
On développe et on regroupe.
Piège classique

Écrire \(\overrightarrow{AM}(x+1\,;y-2)\). Les coordonnées d’un vecteur se calculent toujours « arrivée moins départ » : \(x-x_A\) et \(y-y_A\).

Contrôle. \(A\) : \(1+8-9=0\) ✓. Le vecteur directeur associé \((-b\,;a)=(4\,;1)\) est bien \(\vec u\) ✓.

Exercice 5 · Droites parallèles

Niveau ★★★ Application

Soit \(d_1\ :\ y=2x+1\) et \(d_2\ :\ -4x+2y-3=0\).

  1. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ?
  2. Déterminer l’équation réduite de la droite \(\Delta\) parallèle à \(d_1\) passant par \(E(3\,;1)\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Une comparaison de pentes, puis une équation.

Méthode

On met les deux équations sous forme réduite, et on compare les coefficients directeurs.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 2y=4x+3\iff y=2x+1{,}5\)
1. Forme réduite de \(d_2\).
\(\displaystyle m_1=m_2=\ca{2}\)
Même pente, ordonnées à l’origine différentes : \(d_1\) et \(d_2\) sont \(\cb{\text{parallèles et distinctes}}\).
\(\displaystyle 1=2\times3+p\iff p=-5\)
2. \(\Delta\) a aussi pour pente 2.
\(\displaystyle \cb{y=2x-5}\)
Piège classique

Comparer directement \(-4\) et \(2\) dans les équations de départ. Les coefficients ne se comparent qu’une fois les deux équations sous la même forme.

Contrôle. \(2\times3-5=1\) : \(E\in\Delta\) ✓.

Exercice 6 · Résoudre un système

Niveau ★★★ Réflexe

a) Par substitution : \(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}\)
b) Par combinaison : \(\begin{cases}3x+2y=12\\5x-2y=4\end{cases}\)

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Le couple \((x\,;y)\) solution de chaque système.

Méthode

Substitution quand une inconnue s’isole facilement. Combinaison quand une inconnue a des coefficients opposés.

a) Substitution

\(\displaystyle y=7-2x\)
On isole \(y\) dans la première équation.
\(\displaystyle x-(7-2x)=2\iff3x=9\iff x=3\)
On remplace dans la seconde.
\(\displaystyle y=7-6=1\ ;\ S=\{\cb{(3\,;1)}\}\)

b) Combinaison

\(\displaystyle (3x+2y)+(5x-2y)=12+4\iff 8x=16\)
\(\ca{+2y}\) et \(-2y\) s’éliminent.
\(\displaystyle x=2\ ;\ 6+2y=12\iff y=3\)
On reporte dans la première équation.
\(\displaystyle S=\{\cb{(2\,;3)}\}\)
Piège classique

a) : écrire \(x-7-2x=2\) en oubliant de distribuer le signe moins. \(-(7-2x)=-7+2x\).

Contrôle. a) \(6+1=7\) et \(3-1=2\) ✓. b) \(6+6=12\) et \(10-6=4\) ✓.

Exercice 7 · Point d’intersection de deux droites

Niveau ★★★ Application

Soit \(d\ :\ y=2x-1\) et \(d'\ :\ x+y-5=0\). Démontrer que \(d\) et \(d'\) sont sécantes et calculer les coordonnées de leur point d’intersection \(I\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Une justification, puis un point.

Méthode

Pentes différentes \(\Rightarrow\) sécantes. Les coordonnées de \(I\) vérifient les deux équations : on résout le système.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle d'\ :\ y=-x+5\ ;\ m=2\neq m'=-1\)
Les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.
\(\displaystyle 2x-1=-x+5\iff 3x=6\iff x=2\)
Même ordonnée au point d’intersection.
\(\displaystyle y=2\times2-1=3\ ;\ \cb{I(2\,;3)}\)
−1123456−3−2−112345670dd’I
Piège classique

Trouver \(x=2\) et s’arrêter. Un point a deux coordonnées : il faut calculer \(y\).

Contrôle. \(2+3-5=0\) : \(I\) est aussi sur \(d'\) ✓.

Exercice 8 · Prix des places de cinéma

Niveau ★★★ Problème

Une famille paie 41 € pour 3 places adulte et 2 places enfant. Une autre paie 38 € pour 2 places adulte et 4 places enfant.

  1. On note \(a\) le prix d’une place adulte et \(e\) celui d’une place enfant. Traduire l’énoncé par un système.
  2. Résoudre ce système.
  3. Combien paierait un groupe de 4 adultes et 5 enfants ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Deux prix, puis un total.

Méthode

Une phrase de l’énoncé donne une équation. On simplifie avant de résoudre.

1. Le système

\[\begin{cases}3a+2e=41\\2a+4e=38\end{cases}\]

2. La résolution

\(\displaystyle 2a+4e=38\iff a+2e=19\)
On divise la seconde équation par 2.
\(\displaystyle (3a+2e)-(a+2e)=41-19\)
Combinaison : \(\ca{2e}\) s’élimine.
\(\displaystyle 2a=22\iff a=\cb{11}\)
\(\displaystyle 2e=19-11=8\iff e=\cb{4}\)

Rédaction attendue. Une place adulte coûte 11 € et une place enfant 4 €.

3. Le groupe

\(\displaystyle 4\times11+5\times4=\cb{64}\ \text{€}\)
Piège classique

Conclure par « \(a=11\) et \(e=4\) » sans phrase. Un problème se termine par une réponse dans le langage de l’énoncé, avec les unités.

Contrôle. \(33+8=41\) ✓ et \(22+16=38\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à la fiche fonctions. Sinon, refais les exercices concernés.

Pente de la droite passant par \((0\,;1)\) et \((2\,;7)\) ?
\(\frac{7-1}{2-0}=3\) (exercice 2).
Un vecteur directeur de \(x+5y-2=0\) ?
\(\vec u(-5\,;1)\) (exercice 3).
\(y=4x+1\) et \(y=4x-3\) : combien de points d’intersection ?
Aucun : même pente, droites parallèles distinctes (exercice 5).

Les autres chapitres de Seconde

Se faire accompagner

Équations de droites : la méthode, une fois pour toutes.

Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque équation et chaque système est rédigé en séance, puis corrigé copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

Pour aller plus loin

La Seconde, chapitre par chapitre.

Fiche · exercices corrigés

Fonctions

Images, antécédents, lecture graphique, variations. 8 exercices corrigés.

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Vecteurs

Translation, Chasles, colinéarité. 4 exercices corrigés.

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Calcul

Fractions, puissances, racines, identités remarquables.

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