Fiche de méthode · Seconde

Géométrie repérée en Seconde : milieu, distance, coordonnées de vecteurs, colinéarité. 8 exercices corrigés.

Quand la géométrie devient du calcul : coordonnées du milieu, longueur d’un segment, coordonnées d’un vecteur, parallélogramme, nature d’un triangle, alignement. Chaque démonstration est rédigée comme on l’attend en classe.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Cette fiche est la suite de la fiche vecteurs, cette fois dans un repère. Elle prépare la fiche droites et systèmes.

1. Milieu et distance

Dans un repère, avec \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :

\[I\left(\frac{x_A+x_B}2\,;\frac{y_A+y_B}2\right)\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

La formule de la distance n’est valable que dans un repère orthonormé : elle vient du théorème de Pythagore.

2. Coordonnées de vecteurs

\(\overrightarrow{AB}(\ca{x_B-x_A}\,;y_B-y_A)\) : arrivée moins départ. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées. Les coordonnées de \(\vec u+\vec v\) et de \(k\vec u\) s’obtiennent coordonnée par coordonnée.

3. Colinéarité

\(\vec u(x\,;y)\) et \(\vec v(x'\,;y')\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y=0\). Applications :

  • \(A\), \(B\), \(C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires ;
  • \((AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires.

4. Reconnaître une figure

  • Parallélogramme : \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff[AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
  • Losange : parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur.
  • Rectangle : parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
  • Triangle rectangle : réciproque de Pythagore sur les carrés des longueurs.

\(ABCD\) est un parallélogramme car \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Faux : c’est \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). Avec \(\overrightarrow{CD}\), les vecteurs sont de sens contraires.

La méthode en trois questions
  1. Que demande-t-on de montrer ? Une figure, un alignement, un parallélisme, une longueur.
  2. Quel outil le traduit ? Égalité de vecteurs, milieux, distances ou déterminant.
  3. Ai-je conclu par une phrase ? « Donc \(ABCD\) est un parallélogramme », et non un simple calcul.
Piège classique

Conclure « rectangle » d’un quadrilatère quelconque parce que ses diagonales ont la même longueur. Il faut d’abord prouver que c’est un parallélogramme.

Les exercices

Fais une figure rapide à main levée pour chaque exercice : elle permet de repérer immédiatement un résultat aberrant.

Exercice 1 · Milieu et symétrique

Niveau ★★★ Réflexe

a) Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\), avec \(A(-2\,;3)\) et \(B(4\,;-1)\).
b) On donne \(A(1\,;2)\) et \(I(3\,;-1)\). Déterminer les coordonnées du point \(B\) tel que \(I\) soit le milieu de \([AB]\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Un milieu, puis une extrémité.

Méthode

Formule du milieu ; pour l’extrémité, on l’écrit avec les inconnues \(x_B\) et \(y_B\) et on résout.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle I\left(\tfrac{-2+4}2\,;\tfrac{3-1}2\right)=\cb{I(1\,;1)}\)
a)
\(\displaystyle \tfrac{1+x_B}2=3\iff x_B=\ca{5}\)
b) Abscisse.
\(\displaystyle \tfrac{2+y_B}2=-1\iff y_B=-4\ ;\ \cb{B(5\,;-4)}\)
Ordonnée.
Piège classique

Question b) : calculer le milieu de \([AI]\). \(I\) est déjà le milieu ; \(B\) est plus loin, de l’autre côté de \(I\).

Contrôle. Milieu de \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;-4)\) : \((3\,;-1)=I\) ✓.

Exercice 2 · Calculer des distances

Niveau ★★★ Réflexe

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;6)\) et \(C(-2\,;6)\). Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Que peut-on dire du triangle \(ABC\) ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Trois longueurs, puis la nature du triangle.

Méthode

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\cb{5}\)
\(\displaystyle AC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\cb{5}\)
\(x_C-x_A=-2-1=-3\).
\(\displaystyle BC=\sqrt{(-6)^2+0^2}=\cb{6}\)

\(\ca{AB=AC}\) : le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).

Piège classique

Écrire \(\sqrt{(-3)^2+4^2}=-3+4\). La racine d’une somme n’est pas la somme des racines : on calcule d’abord \(9+16=25\).

Contrôle. \(B\) et \(C\) ont la même ordonnée 6 : \(BC=|4-(-2)|=6\) ✓.

Exercice 3 · Coordonnées de vecteurs

Niveau ★★★ Réflexe

On donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;-1)\) et \(C(-2\,;3)\).

  1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. En déduire celles de \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) et de \(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
  3. Déterminer le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Des coordonnées de vecteurs, puis un point.

Méthode

Arrivée moins départ, puis calcul coordonnée par coordonnée.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}(3\,;-3)\ ;\ \overrightarrow{AC}(-3\,;1)\)
1. \(4-1\), \(-1-2\) ; \(-2-1\), \(3-2\).
\(\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ \cb{(0\,;-2)}\)
2. \(3+(-3)\), \(-3+1\).
\(\displaystyle 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\ \cb{(9\,;-7)}\)
\(6-(-3)\), \(-6-1\).
\(\displaystyle x_M-1=0\ ;\ y_M-2=\ca{-2}\ \Rightarrow\ \cb{M(1\,;0)}\)
3. \(\overrightarrow{AM}(x_M-1\,;y_M-2)\).
Piège classique

Calculer \(-\overrightarrow{AC}\) en ne changeant le signe que d’une coordonnée. \(-\overrightarrow{AC}(3\,;-1)\) : les deux changent.

Contrôle. \(ABMC\) est un parallélogramme (règle du parallélogramme) : milieu de \([AM]\) \((1\,;1)\) et milieu de \([BC]\) \((1\,;1)\) ✓.

Exercice 4 · Construire un parallélogramme

Niveau ★★★ Application

On donne \(A(1\,;1)\), \(B(5\,;2)\) et \(C(6\,;5)\).

  1. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
  2. Vérifier le résultat à l’aide des milieux des diagonales.
Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un quatrième sommet.

Méthode

\(ABCD\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

1. Le point \(D\)

\(\displaystyle \overrightarrow{BC}(1\,;3)\ ;\ \overrightarrow{AD}(x_D-1\,;y_D-1)\)
\(\displaystyle x_D-1=1\ ;\ y_D-1=3\ \Rightarrow\ \cb{D(2\,;4)}\)
Égalité des coordonnées.

2. La vérification

\(\displaystyle \text{milieu de }[AC]\ :\ \left(\tfrac72\,;3\right)\)
\(\displaystyle \text{milieu de }[BD]\ :\ \left(\tfrac72\,;3\right)\)
Les diagonales ont \(\ca{\text{le même milieu}}\) : \(ABCD\) est bien un parallélogramme.
Piège classique

Écrire \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}\). L’ordre des sommets compte : dans \(ABCD\), on parcourt \(A\to B\to C\to D\), donc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

Contrôle. \(\overrightarrow{AB}(4\,;1)\) et \(\overrightarrow{DC}(4\,;1)\) : égaux ✓.

Exercice 5 · Nature d’un triangle

Niveau ★★★ Application

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;5)\) et \(C(-3\,;4)\). Démontrer que le triangle \(ABC\) est isocèle et rectangle.

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Deux propriétés du triangle.

Méthode

On calcule les carrés des longueurs (pas besoin de racines), puis on compare et on teste Pythagore.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle AB^2=3^2+4^2=25\)
\(\displaystyle AC^2=(-4)^2+3^2=25\)
\(AB=AC=5\) : isocèle en \(A\).
\(\displaystyle BC^2=(-7)^2+(-1)^2=\ca{50}\)
\(\displaystyle AB^2+AC^2=25+25=50=BC^2\)
Réciproque de Pythagore.

Rédaction attendue. \(AB=AC\) et \(AB^2+AC^2=BC^2\) : le triangle \(ABC\) est \(\cb{\text{isocèle rectangle en }A}\).

Piège classique

Annoncer « rectangle en \(B\) ». L’angle droit est opposé au plus grand côté \([BC]\) : il est en \(A\).

Contrôle. \(BC=\sqrt{50}=5\sqrt2\), l’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle de côté 5 ✓.

Exercice 6 · Points alignés

Niveau ★★★ Application

On donne \(A(1\,;2)\), \(B(3\,;5)\), \(C(7\,;11)\) et \(D(5\,;9)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ? Et \(A\), \(B\), \(D\) ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Deux réponses justifiées.

Méthode

Alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\iff\det=0\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}(2\,;3)\ ;\ \overrightarrow{AC}(6\,;9)\)
\(\displaystyle 2\times9-6\times3=0\)
Colinéaires : \(\cb{A,\,B,\,C\ \text{alignés}}\).
\(\displaystyle \overrightarrow{AD}(4\,;7)\ ;\ 2\times7-4\times3=\ca{2}\neq0\)
\(\cb{A,\,B,\,D\ \text{non alignés}}\).
Piège classique

Se fier à la figure. \(D\) paraît presque sur la droite, mais un déterminant égal à 2 suffit à prouver qu’il ne l’est pas.

Contrôle. \(\overrightarrow{AC}=3\,\overrightarrow{AB}\) ✓.

Exercice 7 · Colinéarité avec un paramètre

Niveau ★★★ Application

Déterminer le réel \(x\) pour que les vecteurs \(\vec u(2\,;-3)\) et \(\vec v(x\,;6)\) soient colinéaires.

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Une valeur de \(x\).

Méthode

On écrit le déterminant en fonction de \(x\) et on résout \(\det=0\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 2\times6-x\times(-3)=12+3x\)
\(xy'-x'y\) avec \(\vec u(2\,;-3)\), \(\vec v(x\,;6)\).
\(\displaystyle 12+3x=0\iff x=\cb{-4}\)
Piège classique

Oublier le signe de \(-3\) : \(-x\times(-3)=+3x\). Une parenthèse autour de chaque coordonnée négative évite l’erreur.

Contrôle. \(\vec v(-4\,;6)=\ca{-2}\,\vec u\) ✓.

Exercice 8 · Le quadrilatère est-il un carré ?

Niveau ★★★ Problème

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\), \(C(5\,;0)\) et \(D(1\,;-2)\).

  1. Démontrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
  2. Démontrer que \(ABCD\) est un losange.
  3. Démontrer que \(ABCD\) est un rectangle.
  4. Conclure sur la nature de \(ABCD\), puis donner son centre \(\Omega\) et son aire.
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Une chaîne de démonstrations, puis un point et une aire.

Méthode

Parallélogramme par les vecteurs, losange par deux côtés consécutifs, rectangle par les diagonales.

−2−1123456−3−2−1123450ABCDΩ

1. Parallélogramme

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}(4\,;2)\ ;\ \overrightarrow{DC}(4\,;2)\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.

2. Losange

\(\displaystyle AB^2=16+4=20\ ;\ BC^2=4+16=20\)
\(\overrightarrow{BC}(2\,;-4)\). Deux côtés consécutifs égaux : losange.

3. Rectangle

\(\displaystyle AC^2=36+4=40\ ;\ BD^2=4+36=40\)
\(\overrightarrow{AC}(6\,;-2)\), \(\overrightarrow{BD}(-2\,;-6)\). Diagonales de même longueur : rectangle.

4. Conclusion

\(\displaystyle \cb{ABCD\ \text{est un carré}}\)
À la fois losange et rectangle.
\(\displaystyle \Omega\left(\tfrac{-1+5}2\,;\tfrac{2+0}2\right)=\cb{\Omega(2\,;1)}\)
Milieu de la diagonale \([AC]\).
\(\displaystyle \mathcal A=AB^2=\cb{20}\)
Aire d’un carré : côté au carré.
Piège classique

Conclure « carré » dès la question 2. Un losange n’a pas forcément d’angle droit : il faut aussi la propriété du rectangle.

Contrôle. Milieu de \([BD]\) : \((2\,;1)=\Omega\) ✓. Aire par les diagonales : \(\frac{AC\times BD}2=\frac{40}2=20\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à la fiche droites et systèmes. Sinon, refais les exercices concernés.

Milieu de \(A(2\,;5)\) et \(B(6\,;-1)\) ?
\((4\,;2)\) (exercice 1).
Distance entre \((0\,;0)\) et \((6\,;8)\) ?
\(\sqrt{36+64}=10\) (exercice 2).
\(\vec u(3\,;1)\) et \(\vec v(6\,;2)\) sont-ils colinéaires ?
Oui : \(3\times2-6\times1=0\) (exercice 6).

Les autres chapitres de Seconde

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La géométrie repérée, rédigée sans trou.

Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque démonstration en repère est rédigée en séance, puis corrigée copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

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