Fiche de méthode · Seconde

Fonctions en Seconde : images, antécédents, lecture graphique, variations. 8 exercices corrigés.

Le chapitre central de l’année. Calculer une image, trouver un antécédent, lire une courbe, résoudre graphiquement, dresser un tableau de variations et trouver un maximum. Chaque méthode est expliquée pas à pas, avec la rédaction attendue en classe.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

1. Image et antécédent

Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) de son ensemble de définition un unique nombre \(f(x)\), appelé image de \(x\). Si \(f(a)=b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\).

  • Pour trouver une image, on calcule : on remplace \(x\) par la valeur.
  • Pour trouver les antécédents de \(b\), on résout l’équation \(f(x)=b\). Il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs.

« L’antécédent de 1 est 0. » Faux si 1 en a plusieurs : un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents.

2. Courbe représentative

La courbe \(\mathcal C_f\) est l’ensemble des points \(M(x\,;f(x))\). Autrement dit :

\[M(x\,;y)\in\mathcal C_f\iff \ca{y=f(x)}\]

Graphiquement, l’image se lit sur l’axe des ordonnées ; les antécédents se lisent sur l’axe des abscisses. Résoudre \(f(x)=k\), c’est chercher les abscisses des points de la courbe à la hauteur \(k\) ; résoudre \(f(x)\lt k\), celles des points situés sous la droite \(y=k\).

3. Variations et extremums

\(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(a\le b\) de \(I\), \(f(a)\le f(b)\) : elle conserve l’ordre. Elle est décroissante si \(f(a)\ge f(b)\) : elle inverse l’ordre. Le tableau de variations résume ces informations avec des flèches. Le maximum de \(f\) sur \(I\) est la plus grande valeur prise par \(f(x)\) ; le minimum, la plus petite.

La méthode en trois questions
  1. Donne-t-on \(x\) ou \(f(x)\) ? \(x\) connu : on cherche une image. \(f(x)\) connu : on cherche des antécédents.
  2. Calcul ou lecture ? Une expression : on calcule ou on résout. Une courbe : on lit, et on écrit « graphiquement » ou « environ ».
  3. La réponse est-elle un nombre ou un ensemble ? Une équation donne des valeurs, une inéquation donne un intervalle.
Piège classique

Inverser les axes : lire l’image de 2 sur l’axe des ordonnées à la hauteur 2. On part toujours de \(x\) sur l’axe horizontal, puis on monte jusqu’à la courbe.

Les exercices

Les exercices 2 à 4 portent sur la même courbe : garde-la sous les yeux.

Exercice 1 · Images et antécédents par le calcul

Niveau ★★★ Réflexe

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=2x^2-3\).

  1. Calculer les images de \(-2\), \(0\) et \(\frac12\).
  2. Déterminer les antécédents de 5.
  3. Le nombre \(-5\) a-t-il des antécédents ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Trois images, puis des antécédents.

Méthode

Image : on remplace \(x\). Antécédents de \(b\) : on résout \(f(x)=b\).

1. Les images

\(\displaystyle f(-2)=2\times\ca{(-2)^2}-3=8-3=\cb{5}\)
Les parenthèses sont indispensables : \((-2)^2=4\).
\(\displaystyle f(0)=\cb{-3}\ ;\ f\!\left(\tfrac12\right)=2\times\tfrac14-3=\cb{-2{,}5}\)

2. Les antécédents de 5

\(\displaystyle 2x^2-3=5\iff x^2=4\)
On isole \(x^2\).
\(\displaystyle x=\cb{2}\ \text{ou}\ x=\cb{-2}\)
Deux nombres ont pour carré 4.

3. Les antécédents de \(-5\)

\(\displaystyle 2x^2-3=-5\iff x^2=-1\)
Un carré est toujours positif ou nul.

L’équation n’a pas de solution : \(-5\) n’a aucun antécédent par \(f\).

Piège classique

Question 2 : ne donner que \(x=2\). L’équation \(x^2=4\) a deux solutions, \(2\) et \(-2\).

Contrôle. \(f(2)=8-3=5\) ✓, et \(f(-2)=5\) d’après la question 1 ✓.

Exercice 2 · Lire une courbe

Niveau ★★★ Réflexe

On donne ci-dessous la courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([-1\,;5]\).

−112345−3−2−11234560Cf
  1. Lire l’image de 0, puis celle de 2.
  2. Lire les antécédents de 1, puis ceux de \(-2\).
  3. Le nombre \(-4\) a-t-il des antécédents ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Des images et des antécédents, par lecture.

Méthode

Image : on part de l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe, on lit l’ordonnée. Antécédents : on part de l’axe des ordonnées, on trace l’horizontale, on lit les abscisses des points d’intersection.

Les lectures, pas à pas

\(\displaystyle f(0)=\cb{1}\ ;\ f(2)=\cb{-3}\)
1. Le point de la courbe d’abscisse 2 est le plus bas.
\(\displaystyle \text{antécédents de }1\ :\ \cb{0}\ \text{et}\ \cb{4}\)
2. La droite \(y=1\) coupe la courbe en deux points.
\(\displaystyle \text{antécédents de }-2\ :\ \cb{1}\ \text{et}\ \cb{3}\)

3. La courbe ne descend jamais sous \(\ca{-3}\) : la droite \(y=-4\) ne la coupe pas, donc \(-4\) n’a aucun antécédent.

Piège classique

Répondre « l’antécédent de 1 est 0 » en s’arrêtant au premier point trouvé. Il faut suivre l’horizontale sur toute la largeur du graphique.

Contrôle. Cette courbe est celle de \(f(x)=x^2-4x+1\) : \(f(4)=16-16+1=1\) ✓ et \(f(3)=9-12+1=-2\) ✓.

Exercice 3 · Résoudre graphiquement

Niveau ★★★ Application

Avec la courbe de l’exercice 2, résoudre graphiquement sur \([-1\,;5]\) : a) \(f(x)=6\) ; b) \(f(x)\lt1\) ; c) \(f(x)\ge-2\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Un ensemble de solutions pour chaque question.

Méthode

On trace la droite horizontale \(y=k\), puis on repère les points de la courbe situés sur, sous ou au-dessus de cette droite. On lit leurs abscisses.

−112345−3−2−11234560y = 1Cf

Les résolutions, pas à pas

\(\displaystyle S=\{\cb{-1\,;5}\}\)
a) Les deux extrémités de la courbe sont à la hauteur 6.
\(\displaystyle S=\cb{]0\,;4[}\)
b) Partie de la courbe strictement sous la droite \(y=1\) : crochets ouverts en 0 et 4.
\(\displaystyle S=\cb{[-1\,;1]\cup[3\,;5]}\)
c) Au-dessus de \(y=-2\) ou dessus : deux morceaux.
Piège classique

Question b) : répondre \(S=\{0\,;4\}\). Une inéquation a pour solution un intervalle (ou une réunion d’intervalles), pas seulement les points de contact.

Contrôle. \(f(2)=-3\lt1\) : 2 est bien dans \(]0\,;4[\) ✓. \(f(5)=6\ge-2\) : 5 est bien dans la réponse c) ✓.

Exercice 4 · Tableau de variations et extremums

Niveau ★★★ Application

Toujours avec la courbe de l’exercice 2 : dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-1\,;5]\), puis donner son minimum et son maximum.

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un tableau, deux extremums.

Méthode

On parcourt la courbe de gauche à droite : elle descend, puis monte. On place les valeurs aux bornes et au changement de sens.

\(x\)\(-1\)\(2\)\(5\)
\(f(x)\)\(6\)↘\(-3\)↗\(6\)

Rédaction attendue. \(f\) est décroissante sur \([-1\,;2]\) et croissante sur \([2\,;5]\). Son minimum est \(\cb{-3}\), atteint en \(x=2\). Son maximum est \(\cb{6}\), atteint en \(x=-1\) et en \(x=5\).

Piège classique

Écrire « le minimum est 2 ». 2 est l’endroit où le minimum est atteint ; le minimum est la valeur \(f(2)=\ca{-3}\).

Contrôle. Toutes les valeurs lues à l’exercice 2 sont bien entre \(-3\) et \(6\) ✓.

Exercice 5 · Un point est-il sur la courbe ?

Niveau ★★★ Réflexe

Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). Les points \(A(3\,;-2)\) et \(B(-2\,;10)\) appartiennent-ils à la courbe \(\mathcal C_f\) ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Deux réponses justifiées.

Méthode

\(M(x\,;y)\in\mathcal C_f\iff y=f(x)\) : on calcule l’image de l’abscisse et on la compare à l’ordonnée.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(3)=9-12+1=-2\)
Égal à l’ordonnée de \(A\) : \(\cb{A\in\mathcal C_f}\).
\(\displaystyle f(-2)=4+8+1=\ca{13}\neq10\)
\(\cb{B\notin\mathcal C_f}\).
Piège classique

Calculer \(f(-2)=4-8+1\). Avec \(x=-2\) : \(-4\times(-2)=+8\). On écrit toujours les parenthèses avant de calculer.

Contrôle. La courbe de l’exercice 2 passe bien par \((3\,;-2)\) ✓.

Exercice 6 · Ensemble de définition

Niveau ★★★ Application

Déterminer l’ensemble de définition de : a) \(g(x)=\dfrac{1}{x-3}\) ; b) \(h(x)=\sqrt{x+2}\) ; c) \(k(x)=5x^2-x+1\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Les valeurs de \(x\) pour lesquelles le calcul est possible.

Méthode

Deux interdits : diviser par 0, et prendre la racine carrée d’un nombre négatif.

Le raisonnement, pas à pas

\(\displaystyle x-3\neq0\iff x\neq3\)
a) \(\mathcal D_g=\cb{\mathbb R\setminus\{3\}}\).
\(\displaystyle \ca{x+2\ge0}\iff x\ge-2\)
b) \(\mathcal D_h=\cb{[-2\,;+\infty[}\). Le crochet est fermé : \(\sqrt0=0\) existe.
\(\displaystyle \mathcal D_k=\cb{\mathbb R}\)
c) Un polynôme se calcule pour tout \(x\).
Piège classique

Question b) : écrire \(x\gt-2\) et exclure \(-2\). La racine carrée de 0 existe ; seul le négatif est interdit.

Contrôle. \(g(3)=\frac10\) impossible ✓ ; \(h(-2)=0\) ✓ ; \(h(-3)=\sqrt{-1}\) impossible ✓.

Exercice 7 · Comparer des images

Niveau ★★★ Application

a) Une fonction \(f\) est croissante sur \([0\,;5]\). Comparer \(f(1{,}5)\) et \(f(2{,}3)\).
b) Une fonction \(g\) est décroissante sur \([-4\,;0]\). Comparer \(g(-3)\) et \(g(-1)\).
c) Sans calculatrice, comparer \((-3)^2\) et \((-2)^2\) en utilisant le sens de variation de la fonction carré.

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Un ordre entre deux images.

Méthode

Croissante : les images sont dans le même ordre que les antécédents. Décroissante : l’ordre est inversé.

Le raisonnement, pas à pas

\(\displaystyle 1{,}5\le2{,}3\ \Rightarrow\ \cb{f(1{,}5)\le f(2{,}3)}\)
a) \(f\) croissante conserve l’ordre.
\(\displaystyle -3\le-1\ \Rightarrow\ \cb{g(-3)\ge g(-1)}\)
b) \(g\) décroissante inverse l’ordre.
\(\displaystyle -3\le-2\ \Rightarrow\ \cb{(-3)^2\ge(-2)^2}\)
c) La fonction carré est \(\ca{\text{décroissante sur }]-\infty\,;0]}\).
Piège classique

Question c) : raisonner « \(-3\lt-2\), donc \((-3)^2\lt(-2)^2\) ». Sur les nombres négatifs, la fonction carré inverse l’ordre.

Contrôle. \((-3)^2=9\ge4=(-2)^2\) ✓.

Exercice 8 · L’enclos de surface maximale

Niveau ★★★ Problème

Un éleveur dispose de 20 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire le long d’un mur (le côté contre le mur n’a pas besoin de grillage). On note \(x\) la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

  1. Justifier que \(x\in[0\,;10]\) et que l’aire de l’enclos est \(A(x)=x(20-2x)\).
  2. Calculer \(A(2)\), \(A(5)\) et \(A(8)\).
  3. Vérifier que \(A(x)=50-2(x-5)^2\).
  4. En déduire l’aire maximale et les dimensions de l’enclos correspondant.
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Une fonction qui modélise une aire, puis son maximum.

Méthode

On exprime chaque longueur en fonction de \(x\). Pour le maximum, la forme \(50-2(\dots)^2\) montre que \(A(x)\) ne peut pas dépasser 50.

1. Mise en équation

\(\displaystyle 20-2x\)
Longueur du côté parallèle au mur : le grillage restant.
\(\displaystyle x\ge0\ \text{et}\ 20-2x\ge0\iff x\in[0\,;10]\)
Deux longueurs positives.
\(\displaystyle A(x)=\cb{x(20-2x)}\)
Aire du rectangle.

2. Quelques valeurs

\(\displaystyle A(2)=32\ ;\ A(5)=50\ ;\ A(8)=32\)
\(2\times16\), \(5\times10\), \(8\times4\) : l’aire augmente puis diminue.

3. La forme utile

\(\displaystyle 50-2(x^2-10x+25)=50-2x^2+20x-50\)
Identité remarquable, puis on développe.
\(\displaystyle =20x-2x^2=x(20-2x)=A(x)\)

4. Le maximum

Un carré est positif ou nul : \(2(x-5)^2\ge0\), donc \(A(x)\le50\) pour tout \(x\), avec égalité quand \(\ca{x=5}\). L’aire maximale est \(\cb{50\ \text{m}^2}\), pour un enclos de 5 m sur 10 m (10 m le long du mur).

Piège classique

Choisir un carré de 5 m sur 5 m par intuition. Le mur fait office de quatrième côté : la meilleure forme n’est pas un carré.

Contrôle. Grillage utilisé : \(5+5+10=20\) m ✓, et \(A(4)=4\times12=48\lt50\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à la fiche droites et systèmes. Sinon, refais les exercices concernés.

\(f(x)=3x-1\) : antécédent de 8 ?
\(3x-1=8\iff x=3\) (exercice 1).
Sur une courbe, où lit-on une image ?
Sur l’axe des ordonnées, après être parti de \(x\) sur l’axe des abscisses (exercice 2).
\(f\) décroissante sur \([0\,;4]\) : comparer \(f(1)\) et \(f(3)\).
\(f(1)\ge f(3)\) (exercice 7).

Les autres chapitres de Seconde

Se faire accompagner

Les fonctions, le chapitre qui décide de la spé maths.

Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque lecture graphique et chaque tableau de variations est rédigé en séance, puis corrigé copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

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