Fiche de méthode · Seconde

Statistiques et probabilités en Seconde : moyenne, quartiles, écart-type, probabilités, échantillonnage. 8 exercices corrigés.

Résumer une série par sa moyenne, sa médiane et ses quartiles, mesurer sa dispersion, calculer des probabilités avec un tableau ou un arbre, puis juger un échantillon. Tout le chapitre de Seconde, expliqué pas à pas.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

1. Indicateurs de position

Pour une série de valeurs \(x_i\) d’effectifs \(n_i\) et d’effectif total \(N\), la moyenne est :

\[\bar x=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{\ca{N}}\]

La médiane partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif. Le premier quartile \(Q_1\) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales ; le troisième quartile \(Q_3\), la plus petite telle qu’au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Si l’on ajoute une constante \(b\) à toutes les valeurs, la moyenne augmente de \(b\) ; si on les multiplie par \(a\), la moyenne est multipliée par \(a\).

2. Indicateurs de dispersion

L’étendue est \(\max-\min\), l’écart interquartile \(Q_3-Q_1\). L’écart-type \(\sigma\) mesure l’écart moyen à la moyenne : c’est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts \((x_i-\bar x)^2\). Plus \(\sigma\) est grand, plus la série est dispersée.

3. Probabilités

Dans une situation d’équiprobabilité, \(P(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre d’issues possibles}}\). Pour deux événements \(A\) et \(B\) :

\[P(\bar A)=1-P(A)\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Pour une expérience à deux étapes (deux dés, deux tirages), on liste les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre.

4. Échantillonnage

Pour une proportion \(p\) dans une population et un échantillon de taille \(n\) (\(n\ge25\), \(0{,}2\le p\le0{,}8\)), environ 95 % des échantillons ont une fréquence \(f\) dans l’intervalle \(\left[p-\frac1{\sqrt n}\,;p+\frac1{\sqrt n}\right]\). C’est ce qu’on observe en simulant un grand nombre d’échantillons.

« La médiane est la valeur du milieu du tableau. » Faux si les valeurs ne sont pas rangées : on range toujours la série avant de chercher médiane et quartiles.

La méthode en trois questions
  1. La série est-elle rangée et l’effectif total connu ? C’est le point de départ de tous les indicateurs.
  2. Les issues sont-elles équiprobables ? Si oui, on compte. Sinon, on raisonne avec les règles de calcul.
  3. « Et » ou « ou » ? « Et » est une intersection, « ou » une réunion : on retire l’intersection pour ne pas la compter deux fois.
Piège classique

Faire la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs. Une note obtenue par huit élèves pèse huit fois plus qu’une note obtenue par un seul.

Les exercices

Les exercices 1 à 4 portent sur les statistiques, les exercices 5 à 8 sur les probabilités et l’échantillonnage.

Exercice 1 · Moyenne pondérée

Niveau ★★★ Réflexe

Voici les notes d’une classe à un contrôle.

Note810121416
Effectif25832

Calculer la moyenne de la classe.

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Une moyenne pondérée par les effectifs.

Méthode

Somme des produits note \(\times\) effectif, divisée par l’effectif total.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle N=2+5+8+3+2=\ca{20}\)
Effectif total.
\(\displaystyle 16+50+96+42+32=236\)
Somme des produits : \(8\times2\), \(10\times5\), etc.
\(\displaystyle \bar x=\frac{236}{20}=\cb{11{,}8}\)
Piège classique

Calculer \(\frac{8+10+12+14+16}5=12\). Cette moyenne ignore que 12 a été obtenu par 8 élèves et 16 par seulement 2.

Contrôle. 11,8 est entre 8 et 16, proche de 12, la note la plus fréquente ✓.

Exercice 2 · Médiane et quartiles

Niveau ★★★ Application

On a relevé le temps de trajet, en minutes, de 11 élèves : \(12\,;\,5\,;\,20\,;\,8\,;\,15\,;\,3\,;\,10\,;\,17\,;\,6\,;\,13\,;\,9\).

  1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile.
  2. Calculer l’étendue et l’écart interquartile.
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Trois indicateurs de position, deux de dispersion.

Méthode

On range la série, puis on calcule les rangs : \(\frac{N}4\) et \(\frac{3N}4\) arrondis à l’entier supérieur pour les quartiles.

1. Position

\(\displaystyle 3\,;5\,;6\,;8\,;9\,;\ca{10}\,;12\,;13\,;15\,;17\,;20\)
Série rangée, \(N=11\).
\(\displaystyle Me=\cb{10}\)
\(N\) impair : 6e valeur, 5 valeurs de chaque côté.
\(\displaystyle \tfrac{11}4=2{,}75\ \Rightarrow\ Q_1=\cb{6}\)
3e valeur.
\(\displaystyle \tfrac{33}4=8{,}25\ \Rightarrow\ Q_3=\cb{15}\)
9e valeur.

2. Dispersion

\(\displaystyle 20-3=\cb{17}\ ;\ Q_3-Q_1=\cb{9}\)
Étendue et écart interquartile.

Interprétation. La moitié des élèves met au plus 10 minutes ; la moitié centrale des temps tient dans un intervalle de 9 minutes, de 6 à 15.

Piège classique

Prendre la 6e valeur de la série non rangée, ici 3. Sans classement, la médiane n’a aucun sens.

Contrôle. 3 valeurs sur 11 sont \(\le Q_1=6\), soit 27 % \(\ge25\,\%\) ✓ ; 9 sur 11 sont \(\le Q_3\), soit 82 % \(\ge75\,\%\) ✓.

Exercice 3 · Transformer une série

Niveau ★★★ Réflexe

Dans une entreprise, le salaire mensuel moyen est de 1 800 €. Quel est le nouveau salaire moyen si : a) chaque salarié reçoit une prime de 50 € ? b) chaque salaire augmente de 2 % ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Deux nouvelles moyennes, sans connaître les salaires.

Méthode

La moyenne suit la même transformation que les valeurs.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 1800+50=\cb{1850}\ \text{€}\)
a) On ajoute 50 à chaque valeur, donc à la moyenne.
\(\displaystyle 1800\times\ca{1{,}02}=\cb{1836}\ \text{€}\)
b) Chaque valeur est multipliée par 1,02.
Piège classique

Croire qu’il faut connaître tous les salaires. La propriété de linéarité de la moyenne évite tout recalcul.

Contrôle. Avec deux salaires de 1 600 et 2 000 € : \(\frac{1632+2040}2=1836\) ✓.

Exercice 4 · Comparer deux dispersions

Niveau ★★★ Application

Deux élèves ont obtenu trois notes. Léo : 9, 10, 11. Inès : 5, 10, 15. Calculer la moyenne et l’écart-type de chaque série, puis comparer.

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Deux moyennes, deux écarts-types, une interprétation.

Méthode

\(\sigma=\sqrt{\text{moyenne des }(x_i-\bar x)^2}\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle \bar x_L=\bar x_I=10\)
Même moyenne pour les deux.
\(\displaystyle \sigma_L=\sqrt{\frac{1+0+1}3}=\sqrt{\tfrac23}\approx\cb{0{,}82}\)
Écarts à la moyenne : \(-1\), 0, 1.
\(\displaystyle \sigma_I=\sqrt{\frac{25+0+25}3}=\sqrt{\tfrac{50}3}\approx\cb{4{,}08}\)
Écarts : \(-5\), 0, 5.

Interprétation. Les deux élèves ont la même moyenne, mais les notes d’Inès sont \(\ca{\text{bien plus dispersées}}\) : Léo est régulier, Inès alterne réussites et difficultés.

Piège classique

Conclure que les deux élèves ont le même niveau parce qu’ils ont la même moyenne. Une moyenne seule ne décrit pas une série.

Contrôle. L’étendue d’Inès (10) est cinq fois celle de Léo (2), et \(4{,}08\approx5\times0{,}82\) ✓.

Exercice 5 · Événements et réunion

Niveau ★★★ Réflexe

On lance un dé équilibré à six faces. \(A\) : « le résultat est pair », \(B\) : « le résultat est supérieur ou égal à 5 ». Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\), \(P(A\cup B)\) et \(P(\bar A)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Cinq probabilités.

Méthode

On écrit chaque événement comme un ensemble d’issues, puis on compte sur 6.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle A=\{2;4;6\},\ P(A)=\tfrac36=\cb{\tfrac12}\)
\(\displaystyle B=\{5;6\},\ P(B)=\tfrac26=\cb{\tfrac13}\)
\(\displaystyle A\cap B=\{6\},\ P(A\cap B)=\cb{\tfrac16}\)
Pair et au moins 5.
\(\displaystyle P(A\cup B)=\tfrac12+\tfrac13-\ca{\tfrac16}=\cb{\tfrac23}\)
On retire l’intersection, comptée deux fois.
\(\displaystyle P(\bar A)=1-\tfrac12=\cb{\tfrac12}\)
Le résultat est impair.
Piège classique

Calculer \(P(A\cup B)=\frac12+\frac13=\frac56\). Le 6 est à la fois pair et au moins égal à 5 : sans soustraction, il est compté deux fois.

Contrôle. \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\) contient 4 issues : \(\frac46=\frac23\) ✓.

Exercice 6 · Somme de deux dés

Niveau ★★★ Application

On lance deux dés équilibrés et on fait la somme des résultats. Calculer la probabilité : a) que la somme soit égale à 7 ; b) qu’elle soit supérieure ou égale à 10 ; c) qu’elle soit égale à 2 ou à 12.

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Ce qu’on cherche

Trois probabilités.

Méthode

Un tableau à double entrée donne les \(6\times6=\ca{36}\) issues équiprobables.

Dé 1 \ Dé 2123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112

Le comptage, pas à pas

\(\displaystyle \tfrac6{36}=\cb{\tfrac16}\)
a) La somme 7 apparaît 6 fois, sur la diagonale.
\(\displaystyle \tfrac{3+2+1}{36}=\cb{\tfrac16}\)
b) Sommes 10, 11 et 12.
\(\displaystyle \tfrac{1+1}{36}=\cb{\tfrac1{18}}\)
c) Une seule case pour 2, une seule pour 12.
Piège classique

Dire qu’il y a 11 sommes possibles, de 2 à 12, donc \(P(\text{somme}=7)=\frac1{11}\). Les sommes ne sont pas équiprobables : ce sont les 36 couples qui le sont.

Contrôle. Le tableau compte bien 36 cases, et 7 est la somme la plus fréquente ✓.

Exercice 7 · Deux tirages avec remise

Niveau ★★★ Application

Une urne contient deux boules rouges \(R_1\), \(R_2\) et une boule verte \(V\). On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule. Calculer la probabilité : a) d’obtenir deux boules rouges ; b) d’obtenir au moins une boule verte.

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Deux probabilités sur une expérience à deux étapes.

Méthode

On distingue les deux rouges pour obtenir des issues équiprobables, puis on compte avec un arbre ou une liste.

Le comptage, pas à pas

\(\displaystyle 3\times3=\ca{9}\ \text{issues}\)
3 choix au premier tirage, 3 au second (avec remise).
\(\displaystyle 2\times2=4\ \Rightarrow\ P(RR)=\cb{\tfrac49}\)
a) \(R_1R_1\), \(R_1R_2\), \(R_2R_1\), \(R_2R_2\).
\(\displaystyle 1-\tfrac49=\cb{\tfrac59}\)
b) « Au moins une verte » est le contraire de « deux rouges ».
Piège classique

Lister seulement RR, RV, VR, VV et répondre \(\frac14\) au a). Ces quatre issues ne sont pas équiprobables : il y a deux fois plus de rouges que de vertes.

Contrôle. Issues avec au moins une verte : \(R_1V\), \(R_2V\), \(VR_1\), \(VR_2\), \(VV\), soit 5 sur 9 ✓.

Exercice 8 · La pièce est-elle truquée ?

Niveau ★★★ Problème

On veut savoir si une pièce est équilibrée, c’est-à-dire si la probabilité d’obtenir pile est \(p=0{,}5\). On la lance 100 fois.

  1. Déterminer l’intervalle \(\left[p-\frac1{\sqrt n}\,;p+\frac1{\sqrt n}\right]\) pour \(n=100\).
  2. On obtient 64 piles. Que peut-on penser de la pièce ?
  3. Avec une autre pièce, on obtient 56 piles sur 100 lancers. Même question.
  4. Pourquoi ne peut-on jamais être absolument certain de la conclusion ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Un intervalle, deux décisions, une limite.

Méthode

Environ 95 % des échantillons de taille \(n\) donnent une fréquence dans l’intervalle. Une fréquence en dehors est donc inhabituelle si \(p=0{,}5\).

1. L’intervalle

\(\displaystyle \tfrac1{\sqrt{100}}=0{,}1\)
\(\displaystyle [0{,}5-0{,}1\,;0{,}5+0{,}1]=\cb{[0{,}4\,;0{,}6]}\)

2 et 3. Les deux pièces

\(\displaystyle f=0{,}64\notin[0{,}4\,;0{,}6]\)
La fréquence observée est \(\ca{\text{en dehors}}\) de l’intervalle : on peut douter que la première pièce soit équilibrée.
\(\displaystyle f=0{,}56\in[0{,}4\,;0{,}6]\)
Rien ne permet de rejeter l’hypothèse que la seconde pièce soit équilibrée.

4. La limite

Même avec une pièce parfaitement équilibrée, environ 5 % des échantillons de 100 lancers donnent une fréquence hors de l’intervalle. Conclure « truquée » comporte donc un risque d’erreur, de l’ordre de 5 %. Et une fréquence dans l’intervalle ne prouve pas que la pièce est équilibrée : elle ne permet seulement pas de dire le contraire.

Piège classique

Question 3 : conclure « la pièce est équilibrée ». On ne peut pas l’affirmer : on dit seulement que l’échantillon est compatible avec cette hypothèse.

Contrôle. \(\frac{64}{100}=0{,}64\) et \(\frac{56}{100}=0{,}56\) : les fréquences sont bien calculées sur \(n=100\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à la fiche fonctions. Sinon, refais les exercices concernés.

Médiane de \(4\,;7\,;2\,;9\,;5\) ?
Série rangée \(2\,;4\,;5\,;7\,;9\) : la médiane est 5 (exercice 2).
\(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}1\) : \(P(A\cup B)\) ?
\(0{,}5+0{,}4-0{,}1=0{,}8\) (exercice 5).
Intervalle de fluctuation pour \(p=0{,}3\) et \(n=400\) ?
\(\frac1{20}=0{,}05\), donc \([0{,}25\,;0{,}35]\) (exercice 8).

Les autres chapitres de Seconde

Se faire accompagner

Lire une série, calculer une probabilité : sans hésiter.

Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque indicateur et chaque probabilité est rédigé en séance, puis corrigé copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

Pour aller plus loin

La Seconde, chapitre par chapitre.

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Images, antécédents, lecture graphique, variations. 8 exercices corrigés.

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Carré, inverse, racine, cube, tableaux de signes. 8 exercices corrigés.

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