Fiche de méthode · Seconde

Fonctions de référence et tableaux de signes en Seconde : carré, inverse, racine, cube. 8 exercices corrigés.

Comparer et encadrer avec les variations des fonctions de référence, résoudre \(x^2=a\) ou \(x^2\lt a\), étudier le signe d’une fonction affine, puis d’un produit ou d’un quotient. Les outils dont toute la Première aura besoin.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Cette fiche prolonge la fiche fonctions : images, antécédents et variations y sont supposés connus.

1. Les quatre fonctions de référence

FonctionDéfinie surVariations
Carré \(x\mapsto x^2\)\(\mathbb R\)décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\)
Inverse \(x\mapsto\frac1x\)\(\mathbb R\setminus\{0\}\)décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\)
Racine carrée \(x\mapsto\sqrt x\)\([0\,;+\infty[\)croissante
Cube \(x\mapsto x^3\)\(\mathbb R\)croissante

Une fonction croissante conserve l’ordre, une fonction décroissante l’inverse. Sur \([0\,;1]\), on a \(x^3\le x^2\le x\) ; sur \([1\,;+\infty[\), l’ordre est renversé.

L’équation \(x^2=a\) a deux solutions \(\sqrt a\) et \(-\sqrt a\) si \(a\gt0\), une seule (0) si \(a=0\), aucune si \(a\lt0\).

2. Signe d’une fonction affine

\(f(x)=ax+b\) (avec \(a\neq0\)) s’annule en \(x=-\frac ba\). Elle est du signe de \(a\) à droite de cette valeur, et du signe contraire à gauche.

\[\ca{\text{signe de }-a}\quad\Big|\quad 0\ \text{en}\ -\tfrac ba\quad\Big|\quad\text{signe de }a\]

3. Produits et quotients

Pour le signe d’un produit ou d’un quotient de facteurs affines, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes. Dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque d’une double barre ‖.

\(x^2\lt9\iff x\lt3\). Faux : \(-5\lt3\) mais \((-5)^2=25\gt9\). La bonne réponse est \(-3\lt x\lt3\).

La méthode en trois questions
  1. Quelle fonction de référence intervient, et sur quel intervalle ? Les variations dépendent du signe de \(x\).
  2. Le sens est-il conservé ou inversé ? Croissante : conservé. Décroissante : inversé.
  3. Pour une inéquation, ai-je tout ramené à « \(\dots\ge0\) » ? On étudie alors un signe, avec un tableau.
Piège classique

Élever au carré les deux membres d’une inégalité entre nombres négatifs sans changer le sens. Pour \(-3\le x\le-1\), on obtient \(1\le x^2\le9\), et non \(9\le x^2\le1\).

Les exercices

Avant chaque comparaison, écris la fonction utilisée et son sens de variation sur l’intervalle concerné : c’est cette phrase qui justifie la réponse.

Exercice 1 · Comparer sans calculer

Niveau ★★★ Réflexe

En utilisant le sens de variation d’une fonction de référence, comparer : a) \(0{,}3^2\) et \(0{,}4^2\) ; b) \(\frac1{2{,}5}\) et \(\frac13\) ; c) \((-1{,}5)^2\) et \((-1{,}2)^2\) ; d) \(\sqrt7\) et \(\sqrt8\) ; e) \((-2)^3\) et \((-1)^3\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Cinq comparaisons justifiées.

Méthode

On compare les antécédents, puis on applique la fonction en conservant ou en inversant l’ordre.

Le raisonnement, pas à pas

\(\displaystyle 0{,}3\lt0{,}4\Rightarrow\cb{0{,}3^2\lt0{,}4^2}\)
a) Carré croissante sur \([0\,;+\infty[\).
\(\displaystyle 2{,}5\lt3\Rightarrow\cb{\tfrac1{2{,}5}\gt\tfrac13}\)
b) Inverse décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\(\displaystyle -1{,}5\lt-1{,}2\Rightarrow\cb{(-1{,}5)^2\gt(-1{,}2)^2}\)
c) Carré \(\ca{\text{décroissante}}\) sur \(]-\infty\,;0]\).
\(\displaystyle 7\lt8\Rightarrow\cb{\sqrt7\lt\sqrt8}\)
d) Racine croissante.
\(\displaystyle -2\lt-1\Rightarrow\cb{(-2)^3\lt(-1)^3}\)
e) Cube croissante sur \(\mathbb R\).
Piège classique

Question c) : conserver l’ordre par habitude. Sur les négatifs, la fonction carré inverse l’ordre : le nombre le plus « petit » a le plus grand carré.

Contrôle. \(2{,}25\gt1{,}44\) ✓ ; \(0{,}4\gt0{,}33\) ✓ ; \(-8\lt-1\) ✓.

Exercice 2 · Équations avec les fonctions de référence

Niveau ★★★ Réflexe

Résoudre dans \(\mathbb R\) : a) \(x^2=9\) ; b) \(x^2=7\) ; c) \(x^2=-4\) ; d) \(\frac1x=4\) ; e) \(\sqrt x=3\) ; f) \(x^3=-8\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Six ensembles de solutions.

Méthode

\(x^2=a\) : deux, une ou aucune solution selon le signe de \(a\). Les autres fonctions de référence sont strictement monotones : au plus une solution.

Les résolutions, pas à pas

\(\displaystyle S=\{\cb{-3\,;3}\}\ ;\ S=\{\cb{-\sqrt7\,;\sqrt7}\}\)
a) et b) \(a\gt0\) : deux solutions opposées.
\(\displaystyle S=\cb{\varnothing}\)
c) Un carré n’est jamais \(\ca{\text{négatif}}\).
\(\displaystyle x=\cb{\tfrac14}\ ;\ x=\cb{9}\ ;\ x=\cb{-2}\)
d) \(\frac1{1/4}=4\) ; e) \(\sqrt9=3\) ; f) \((-2)^3=-8\).
Piège classique

Question a) : oublier \(-3\). C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se répercute sur toutes les inéquations.

Contrôle. \((-\sqrt7)^2=7\) ✓ et \(\sqrt9=3\) ✓.

Exercice 3 · Inéquations avec le carré et l’inverse

Niveau ★★★ Application

Résoudre dans \(\mathbb R\) : a) \(x^2\lt9\) ; b) \(x^2\ge4\) ; c) \(\frac1x\gt2\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Trois intervalles ou réunions d’intervalles.

Méthode

On s’appuie sur la courbe : on cherche les abscisses des points situés sous ou au-dessus d’une droite horizontale.

−3−2−1123−11234567890y = 4y = x²

Les résolutions, pas à pas

\(\displaystyle S=\cb{]-3\,;3[}\)
a) La parabole est sous la droite \(y=9\) entre \(-3\) et \(3\), bornes exclues.
\(\displaystyle S=\cb{]-\infty\,;-2]\cup[2\,;+\infty[}\)
b) Au-dessus de \(y=4\) ou dessus : à l’extérieur de \([-2\,;2]\), bornes incluses.
\(\displaystyle x\gt0\ \text{et}\ x\lt\tfrac12\ :\ S=\cb{]0\,;\tfrac12[}\)
c) Si \(x\lt0\), \(\frac1x\lt0\lt2\) : aucune solution négative. Si \(x\gt0\), l’inverse étant décroissante, \(\frac1x\gt2\iff x\lt\frac12\).
Piège classique

Question c) : « multiplier par \(x\) » sans connaître son signe. Si \(x\) est négatif, le sens de l’inégalité change : on traite les deux cas séparément.

Contrôle. \(x=0{,}25\) : \(\frac1{0{,}25}=4\gt2\) ✓ ; \(x=2\) : \(\frac12\lt2\) ✓ (exclu).

Exercice 4 · Encadrer une image

Niveau ★★★ Application

a) On sait que \(2\le x\le5\). Encadrer \(x^2\), \(\frac1x\) et \(\sqrt x\).
b) On sait que \(-3\le x\le-1\). Encadrer \(x^2\) et \(\frac1x\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Cinq encadrements.

Méthode

On applique la fonction aux deux bornes. Si elle est décroissante sur l’intervalle, les bornes s’échangent.

a) Sur \([2\,;5]\)

\(\displaystyle \cb{4\le x^2\le25}\)
Carré croissante sur \([0\,;+\infty[\).
\(\displaystyle \cb{\tfrac15\le\tfrac1x\le\tfrac12}\)
Inverse décroissante : les bornes s’échangent.
\(\displaystyle \cb{\sqrt2\le\sqrt x\le\sqrt5}\)
Racine croissante.

b) Sur \([-3\,;-1]\)

\(\displaystyle (-1)^2\le x^2\le(-3)^2\iff\cb{1\le x^2\le9}\)
Carré \(\ca{\text{décroissante}}\) sur les négatifs.
\(\displaystyle \tfrac1{-1}\le\tfrac1x\le\tfrac1{-3}\iff\cb{-1\le\tfrac1x\le-\tfrac13}\)
Inverse décroissante sur \(]-\infty\,;0[\).
Piège classique

Écrire \(\frac12\le\frac1x\le\frac15\). Un encadrement s’écrit toujours de la plus petite valeur à la plus grande : \(\frac15\lt\frac12\).

Contrôle. Avec \(x=4\) : \(16\in[4\,;25]\), \(0{,}25\in[0{,}2\,;0{,}5]\) ✓. Avec \(x=-2\) : \(4\in[1\,;9]\), \(-0{,}5\in[-1\,;-\frac13]\) ✓.

Exercice 5 · Comparer \(x\), \(x^2\) et \(x^3\)

Niveau ★★★ Application

a) Calculer \(x\), \(x^2\) et \(x^3\) pour \(x=0{,}5\), puis pour \(x=2\). Que remarque-t-on ?
b) Démontrer que pour tout \(x\in[0\,;1]\), \(x^2\le x\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Une conjecture, puis une démonstration.

Méthode

Pour comparer deux nombres, on étudie le signe de leur différence.

a) Deux exemples

\(\displaystyle 0{,}5\gt0{,}25\gt0{,}125\)
Pour \(x=0{,}5\) : \(x\gt x^2\gt x^3\).
\(\displaystyle 2\lt4\lt8\)
Pour \(x=2\) : l’ordre est renversé.

b) La démonstration

\(\displaystyle x^2-x=\ca{x(x-1)}\)
On factorise la différence.
\(\displaystyle x\ge0\ \text{et}\ x-1\le0\ \Rightarrow\ x(x-1)\le0\)
Sur \([0\,;1]\), les deux facteurs sont de signes contraires.
\(\displaystyle \cb{x^2\le x}\)
Piège classique

Croire qu’élever au carré « agrandit » toujours un nombre. Entre 0 et 1, le carré est plus petit que le nombre de départ.

Contrôle. Pour \(x=1\) : \(x=x^2=x^3=1\), cas d’égalité ✓.

Exercice 6 · Signe d’une fonction affine

Niveau ★★★ Réflexe

Dresser le tableau de signes de \(f(x)=-2x+6\), puis donner le signe de \(g(x)=3x+1\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Deux tableaux de signes.

Méthode

On cherche où la fonction s’annule, puis on place le signe de \(a\) à droite.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle -2x+6=0\iff x=3\)
\(a=\ca{-2}\lt0\) : \(f\) est négative à droite de 3.
\(x\)\(-\infty\)\(3\)\(+\infty\)
\(-2x+6\)+0−
\(\displaystyle 3x+1=0\iff x=-\tfrac13\)
\(a=3\gt0\) : \(g(x)\lt0\) sur \(\left]-\infty\,;-\frac13\right[\), \(g(x)\gt0\) sur \(\left]-\frac13\,;+\infty\right[\).
Piège classique

Mettre « + » à droite parce que \(b=6\) est positif. C’est le signe de \(a\), le coefficient de \(x\), qui compte.

Contrôle. \(f(0)=6\gt0\) ✓ et \(f(5)=-4\lt0\) ✓.

Exercice 7 · Produit et quotient

Niveau ★★★ Application

a) Résoudre \((2x-4)(-x+3)\ge0\).
b) Résoudre \(\dfrac{x+1}{x-2}\le0\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Deux ensembles de solutions.

Méthode

Tableau de signes : une ligne par facteur, règle des signes, puis lecture de la dernière ligne.

a) Le produit

\(\displaystyle x=2\ ;\ x=3\)
Valeurs qui annulent les facteurs : \(2x-4=0\) et \(-x+3=0\).
\(x\)\(-\infty\)\(2\)\(3\)\(+\infty\)
\(2x-4\)−0++
\(-x+3\)++0−
\(P(x)\)−0+0−

\(P(x)\ge0\) sur \(\cb{[2\,;3]}\) : crochets fermés, car le produit vaut 0 en 2 et en 3.

b) Le quotient

\(\displaystyle x=-1\ ;\ x=\ca{2}\)
\(x+1=0\) et \(x-2=0\) : 2 annule le dénominateur, c’est une valeur interdite.
\(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
\(x+1\)−0++
\(x-2\)−−0+
\(Q(x)\)+0−‖+

\(Q(x)\le0\) sur \(\cb{[-1\,;2[}\) : fermé en \(-1\) (le quotient y vaut 0), ouvert en 2 (valeur interdite).

Piège classique

Question b) : fermer le crochet en 2. On ne divise jamais par 0 : une valeur interdite est toujours exclue.

Contrôle. \(x=2{,}5\) : \(1\times0{,}5\gt0\) ✓ ; \(x=0\) : \(\frac1{-2}\lt0\) ✓.

Exercice 8 · Comparer \(x^2\) et \(x+2\)

Niveau ★★★ Problème

On veut savoir pour quelles valeurs de \(x\) on a \(x^2\ge x+2\).

  1. Vérifier que \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\).
  2. Dresser le tableau de signes de \(x^2-x-2\).
  3. Conclure, puis interpréter graphiquement à l’aide de la parabole \(y=x^2\) et de la droite \(y=x+2\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

L’ensemble des \(x\) tels que \(x^2-(x+2)\ge0\).

Méthode

On compare en étudiant le signe de la différence, mise sous forme factorisée.

1. La factorisation

\(\displaystyle (x-2)(x+1)=x^2-x-2\)
On développe : \(x^2+x-2x-2\).

2. Le tableau de signes

\(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
\(x+1\)−0++
\(x-2\)−−0+
\(x^2-x-2\)+0−0+

3. Conclusion et lecture graphique

\(\displaystyle x^2\ge x+2\iff x^2-x-2\ge0\)
On passe tout du même côté.
\(\displaystyle S=\cb{]-\infty\,;-1]\cup[2\,;+\infty[}\)
Dernière ligne du tableau.
−3−2−1123−11234567890y = x²y = x + 2(−1 ; 1)(2 ; 4)

La parabole est au-dessus de la droite à l’extérieur de \([-1\,;2]\), et en dessous entre les deux. Les deux courbes se coupent en \(\ca{(-1\,;1)}\) et \((2\,;4)\) : aux abscisses où la différence s’annule.

Piège classique

Résoudre \(x^2\ge x+2\) en « prenant la racine » des deux côtés. On ne compare jamais directement deux expressions : on étudie le signe de leur différence.

Contrôle. \(x=0\) : \(0\lt2\), et 0 n’est pas solution ✓ ; \(x=3\) : \(9\ge5\), et 3 est solution ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à la fiche statistiques et probabilités. Sinon, refais les exercices concernés.

Résoudre \(x^2=16\).
\(x=-4\) ou \(x=4\) (exercice 2).
\(1\le x\le4\) : encadrer \(\frac1x\).
\(\frac14\le\frac1x\le1\) (exercice 4).
Signe de \(-x+5\) pour \(x\gt5\) ?
Négatif : signe de \(a=-1\) à droite de 5 (exercice 6).

Les autres chapitres de Seconde

Se faire accompagner

Tableaux de signes : l’outil de toute la Première.

Dans le Groupe Fovéa Seconde, chaque encadrement et chaque tableau de signes est rédigé en séance, puis corrigé copie par copie. En ligne, six à neuf élèves, dès 10 €/h.

Pour aller plus loin

La Seconde, chapitre par chapitre.

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