Épreuve anticipée · Fiche sans spécialité

Dérivation sans spécialité : nombre dérivé, tangente, variations d’un polynôme. 8 exercices corrigés.

Lire un nombre dérivé, dériver un polynôme de degré 3 au plus, écrire une tangente, dresser un tableau de variations et trouver un maximum. Le chapitre d’analyse le plus rentable au programme de Première sans spécialité.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 23 octobre 2026 · Durée : 1 h 15 · Programme du tronc commun de Première

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Cette fiche suit le programme des élèves de Première sans spécialité maths : fonctions polynômes de degré au plus 3. En spécialité, le chapitre va plus loin (dérivabilité, produits, quotients) : voir la fiche dérivation et variations.

1. Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(a\). Il mesure la vitesse de variation de \(f\) en \(a\). L’équation de la tangente est :

\[y=\ca{f'(a)}\,(x-a)+f(a)\]

Graphiquement, si la tangente passe par deux points connus, \(f'(a)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Une tangente horizontale correspond à \(f'(a)=0\).

2. Dérivées des polynômes

\(f(x)\)\(k\) (constante)\(x\)\(x^2\)\(x^3\)
\(f'(x)\)\(0\)\(1\)\(2x\)\(3x^2\)

On dérive terme à terme, et un coefficient multiplicatif se conserve : \((5x^3)'=15x^2\), \((-4x)'=-4\).

3. Signe de la dérivée et variations

  • si \(f'(x)\gt0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante sur cet intervalle ;
  • si \(f'(x)\lt0\), \(f\) est décroissante ;
  • si \(f'\) s’annule en changeant de signe, \(f\) admet un extremum (maximum ou minimum local).

\(f'(a)=0\), donc \(f\) admet un extremum en \(a\). Faux : il faut aussi que \(f'\) change de signe. Pour \(x^3\), \(f'(0)=0\) mais la fonction est croissante partout.

La méthode en quatre étapes
  1. Dériver \(f\), terme à terme.
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) : une expression affine, ou un produit de facteurs.
  3. Dresser le tableau : signe de \(f'\), flèches de \(f\).
  4. Calculer les valeurs de \(f\) aux bornes et aux points où \(f'\) s’annule.
Piège classique

Oublier les bornes de l’intervalle. Le maximum sur \([0\,;10]\) peut être atteint en 0 ou en 10, pas seulement là où \(f'\) s’annule.

Les exercices

Pour chaque étude, ne passe à l’étape suivante que quand la précédente est écrite. Un tableau sans valeurs calculées ne rapporte pas tous les points.

Exercice 1 · Nombre dérivé par lecture

Niveau ★★★ Réflexe

La courbe d’une fonction \(f\) passe par \(A(1\,;3)\). La tangente à la courbe en \(A\) passe aussi par \(B(3\,;7)\). Déterminer \(f(1)\) et \(f'(1)\), puis l’équation de la tangente.

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Une image, un nombre dérivé, une droite.

Méthode

\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente, calculé avec deux de ses points.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(1)=\cb{3}\)
\(A\) est sur la courbe.
\(\displaystyle f'(1)=\frac{7-3}{\ca{3-1}}=\cb{2}\)
Pente de la droite \((AB)\).
\(\displaystyle y=2(x-1)+3=\cb{2x+1}\)
Formule de la tangente.
Piège classique

Prendre \(f'(1)=3\), l’ordonnée du point. \(f(1)\) est une hauteur, \(f'(1)\) une pente.

Contrôle. Pour \(x=3\) : \(2\times3+1=7\), la droite passe bien par \(B\) ✓.

Exercice 2 · Dériver des polynômes

Niveau ★★★ Réflexe

Calculer la dérivée de : a) \(f(x)=3x^2-5x+2\) ; b) \(g(x)=x^3-4x\) ; c) \(h(x)=-2x^3+x^2+7\) ; d) \(k(x)=4x-1\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Quatre dérivées.

Méthode

Terme à terme, avec \((x^3)'=3x^2\), \((x^2)'=2x\), \((x)'=1\), \((k)'=0\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f'(x)=3\times2x-5=\cb{6x-5}\)
a) La constante 2 disparaît.
\(\displaystyle g'(x)=\cb{3x^2-4}\)
b)
\(\displaystyle h'(x)=\ca{-2\times3x^2}+2x=\cb{-6x^2+2x}\)
c) Le coefficient \(-2\) se conserve.
\(\displaystyle k'(x)=\cb{4}\)
d) La dérivée d’une fonction affine est son coefficient directeur.
Piège classique

Dériver \(x^3\) en \(3x^3\) ou \(x^2\). On descend l’exposant devant et on le diminue de 1 : \(3x^2\).

Contrôle. \(f'\) est de degré 1, \(g'\) et \(h'\) de degré 2 : dériver fait baisser le degré de 1 ✓.

Exercice 3 · Équation d’une tangente

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=x^2-2x-4\). Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 2.

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Une équation \(y=mx+p\).

Méthode

On calcule \(f(2)\) et \(f'(2)\), puis \(y=f'(2)(x-2)+f(2)\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f(2)=4-4-4=-4\)
\(\displaystyle f'(x)=2x-2\ \Rightarrow\ f'(2)=\ca{2}\)
\(\displaystyle y=2(x-2)-4=\cb{2x-8}\)
On développe.
Piège classique

Écrire \(y=f'(2)\,x+f(2)=2x-4\), en oubliant le \((x-2)\). Cette droite ne passe pas par le point \((2\,;-4)\).

Contrôle. Pour \(x=2\) : \(2\times2-8=-4=f(2)\) ✓.

Exercice 4 · Variations d’un polynôme de degré 2

Niveau ★★★ Application

Étudier les variations de \(f(x)=x^2-6x+5\) sur \([0\,;6]\) et donner son minimum.

Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un tableau de variations et un minimum.

Méthode

\(f'\) est affine : on trouve où elle s’annule, et son signe de part et d’autre.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f'(x)=2x-6\)
Dérivée.
\(\displaystyle 2x-6=0\iff x=\ca{3}\)
\(f'(x)\lt0\) pour \(x\lt3\), \(f'(x)\gt0\) pour \(x\gt3\) (coefficient 2 positif).
\(\displaystyle f(0)=5\ ;\ f(3)=-4\ ;\ f(6)=5\)
Valeurs du tableau : \(f(3)=9-18+5\).
\(x\)\(0\)\(3\)\(6\)
\(f'(x)\)−0+
\(f(x)\)\(5\)↘\(-4\)↗\(5\)

Rédaction attendue. \(f\) est décroissante sur \([0\,;3]\), croissante sur \([3\,;6]\). Son minimum est \(\cb{-4}\), atteint en \(x=3\).

Piège classique

Confondre la valeur où le minimum est atteint (\(x=3\)) et la valeur du minimum (\(f(3)=-4\)). La question « donner le minimum » attend \(-4\).

Contrôle. \(f(1)=0\lt f(0)=5\) : la fonction descend bien au début ✓.

Exercice 5 · Bénéfice maximal

Niveau ★★★ Application

Une entreprise fabrique \(x\) objets par jour, avec \(0\le x\le20\). Son bénéfice, en euros, est \(B(x)=-2x^2+40x-50\). Combien d’objets doit-elle fabriquer pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Un maximum et l’endroit où il est atteint.

Méthode

Étude des variations de \(B\) sur \([0\,;20]\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle B'(x)=-4x+40\)
Dérivée.
\(\displaystyle -4x+40=0\iff x=\ca{10}\)
\(B'(x)\gt0\) pour \(x\lt10\), \(B'(x)\lt0\) pour \(x\gt10\).
\(\displaystyle B(10)=-200+400-50=\cb{150}\)
\(B(0)=B(20)=-50\).
\(x\)\(0\)\(10\)\(20\)
\(B'(x)\)+0−
\(B(x)\)\(-50\)↗\(150\)↘\(-50\)

Rédaction attendue. Le bénéfice est maximal pour 10 objets par jour ; il vaut alors 150 €.

Piège classique

Répondre seulement « 10 ». La question en contient deux : le nombre d’objets et le bénéfice.

Contrôle. \(B(9)=-162+360-50=148\lt150\) ✓.

Exercice 6 · Variations d’un polynôme de degré 3

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=x^3-3x^2+2\) sur \([-1\,;3]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et vérifier que \(f'(x)=3x(x-2)\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(f\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Une dérivée factorisée, puis un tableau complet.

Méthode

Signe d’un produit : on étudie chaque facteur, puis la règle des signes.

1. La dérivée

\(\displaystyle f'(x)=3x^2-6x=\ca{3x}(x-2)\)
On factorise par \(3x\).

2. Le tableau

\(x\)\(-1\)\(0\)\(2\)\(3\)
\(3x\)−0++
\(x-2\)−−0+
\(f'(x)\)+0−0+
\(f(x)\)\(-2\)↗\(2\)↘\(-2\)↗\(2\)
\(\displaystyle f(-1)=-1-3+2=\cb{-2}\)
Borne gauche.
\(\displaystyle f(0)=\cb{2}\ ;\ f(2)=8-12+2=\cb{-2}\)
Maximum local, minimum local.
\(\displaystyle f(3)=27-27+2=\cb{2}\)
Borne droite.

Rédaction attendue. \(f\) est croissante sur \([-1\,;0]\), décroissante sur \([0\,;2]\), croissante sur \([2\,;3]\).

Piège classique

Étudier le signe de \(3x^2-6x\) en regardant seulement le coefficient 3. Un polynôme de degré 2 change de signe : la forme factorisée est indispensable.

Contrôle. \(f'(1)=3\times1\times(-1)=-3\lt0\) : \(f\) décroît bien entre 0 et 2 ✓.

Exercice 7 · Tangente horizontale

Niveau ★★★ Application

Soit \(f(x)=x^2+2x-3\). En quel point la courbe de \(f\) admet-elle une tangente horizontale ? Donner l’équation de cette tangente.

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Un point et une droite horizontale.

Méthode

Tangente horizontale \(\iff\) coefficient directeur nul \(\iff f'(a)=0\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle f'(x)=2x+2=0\iff x=\ca{-1}\)
\(\displaystyle f(-1)=1-2-3=-4\)
Le point est \(\cb{(-1\,;-4)}\).
\(\displaystyle \cb{y=-4}\)
\(y=0\times(x+1)-4\).
Piège classique

Donner l’équation \(x=-1\). C’est une droite verticale ; une tangente horizontale a une équation de la forme \(y=\text{constante}\).

Contrôle. \(f(x)=(x+1)^2-4\ge-4\) : le point \((-1\,;-4)\) est le sommet de la parabole, où la tangente est horizontale ✓.

Exercice 8 · Production d’un atelier, format épreuve

Niveau ★★★ Format épreuve

Un atelier fabrique entre 0 et 10 centaines d’objets par mois. Le bénéfice mensuel, en milliers d’euros, pour \(x\) centaines d’objets est \(B(x)=-x^3+15x^2-48x+20\), pour \(x\in[0\,;10]\).

  1. Calculer \(B'(x)\) et vérifier que \(B'(x)=-3(x-2)(x-8)\).
  2. Étudier le signe de \(B'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(B\).
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice ?
  4. Calculer \(B'(5)\) et interpréter le résultat.
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Une étude complète, un maximum, une interprétation.

Méthode

Dériver, factoriser, tableau de signes, valeurs, conclusion dans les unités de l’énoncé.

1. La dérivée

\(\displaystyle B'(x)=-3x^2+30x-48\)
Terme à terme.
\(\displaystyle (x-2)(x-8)=x^2-10x+16\)
Donc \(-3(x-2)(x-8)=-3x^2+30x-48=B'(x)\).

2. Signe et variations

\(x\)\(0\)\(2\)\(8\)\(10\)
\(-3\)−−−
\(x-2\)−0++
\(x-8\)−−0+
\(B'(x)\)−0+0−
\(B(x)\)\(20\)↘\(-24\)↗\(84\)↘\(40\)
\(\displaystyle B(0)=20\ ;\ B(2)=-24\)
\(B(2)=-8+60-96+20\).
\(\displaystyle B(8)=-512+960-384+20=\ca{84}\)
\(\displaystyle B(10)=-1000+1500-480+20=40\)

3. Le maximum

Sur \([0\,;10]\), la plus grande valeur du tableau est \(84\), atteinte en \(x=8\), plus grande que \(B(0)=20\). Le bénéfice est maximal pour \(\cb{800\ \text{objets}}\) par mois ; il vaut alors \(\cb{84\,000\ \text{€}}\).

4. Interprétation de \(B'(5)\)

\(\displaystyle B'(5)=-3\times3\times(-3)=\cb{27}\)
Avec la forme factorisée.

\(B'(5)\gt0\) : autour de 500 objets, le bénéfice augmente quand la production augmente, d’environ 27 000 € par centaine d’objets supplémentaire. L’atelier a intérêt à produire davantage.

Piège classique

Question 3 : répondre « \(x=8\) » et « 84 » sans unités. L’énoncé parle de centaines d’objets et de milliers d’euros : la réponse attendue est 800 objets et 84 000 €.

Contrôle. \(B'(2)=B'(8)=0\) avec la forme factorisée ✓, et \(B(7)=-343+735-336+20=76\lt84\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe au sujet zéro sans spécialité. Sinon, refais les exercices concernés.

Dériver \(f(x)=2x^3-x^2+5x\).
\(6x^2-2x+5\) (exercice 2).
\(f(1)=4\) et \(f'(1)=-2\) : équation de la tangente en 1 ?
\(y=-2(x-1)+4=-2x+6\) (exercice 3).
\(f'(x)\lt0\) sur \([0\,;5]\) : que dire de \(f\) ?
\(f\) est décroissante sur \([0\,;5]\) (exercice 4).

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