Épreuve anticipée · Fiche spécialité maths
Fonction exponentielle : propriétés, équations, dérivée, étude de fonction. 9 exercices corrigés.
Tout le chapitre de Première spécialité : les règles de calcul, les équations et inéquations, la dérivée de \(e^{ax+b}\), le signe d’un produit avec \(e^x\) et l’étude complète d’une fonction. Avec la rédaction attendue, sans calculatrice.
L’essentiel du cours avant de commencer
Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.
1. La définition
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb R\) telle que \(f'=f\) et \(f(0)=1\). C’est la fonction exponentielle, notée \(\exp\). On écrit \(\exp(x)=e^x\), avec \(e=\exp(1)\approx2{,}718\).
2. Les règles de calcul
| Règle | Exemple |
|---|---|
| \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | \(e^{x+2}=e^x\times e^2\) |
| \(e^{-a}=\dfrac1{e^a}\) | \(e^{-3}=\dfrac1{e^3}\) |
| \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | \(\dfrac{e^{5}}{e^{2}}=e^{3}\) |
| \((e^a)^n=e^{na}\) | \((e^x)^3=e^{3x}\) |
| \(e^0=1,\quad e^1=e\) |
\(e^{a+b}=e^a+e^b\). L’exponentielle transforme une somme en produit, jamais en somme.
3. Signe et sens de variation
Pour tout réel \(x\), \(\ca{e^x\gt0}\). Comme \((e^x)'=e^x\gt0\), la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\). On en déduit les deux équivalences qui servent à résoudre :
En particulier, \(e^x\gt1\iff x\gt0\) et \(e^x\lt1\iff x\lt0\).
4. Dériver avec l’exponentielle
Pour un produit \(u(x)\,e^{x}\), on applique \((uv)'=u'v+uv'\), puis on factorise par l’exponentielle : le signe se lit alors sur le facteur restant.
5. La courbe
6. Lien avec les suites
Pour tout réel \(a\), la suite \(u_n=e^{na}\) est géométrique de raison \(e^a\) : \(u_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^a\times e^{na}\). Voir la fiche suites.
Dans un produit \(u(x)\times e^{\dots}\), l’exponentielle est strictement positive : le signe est celui de \(u(x)\). On l’écrit dans la copie, c’est ce qui rapporte le point.
Chercher une solution à \(e^x=-2\) ou à \(e^x=0\). Une exponentielle est toujours strictement positive : ces équations n’ont aucune solution.
Les exercices
Avant de calculer, ramène chaque expression à une seule exponentielle quand c’est possible. La moitié du travail est là.
Exercice 1 · Simplifier avec les règles
Écrire sous la forme d’une seule exponentielle, ou le plus simplement possible :
\(A=e^{3}\times e^{-5}\) ; \(B=\dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}}\) ; \(C=(e^{x})^3\times e^{-2x}\) ; \(D=e^{x}\,(e^{x}+e^{-x})\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Quatre écritures simplifiées.
MéthodeProduit : on additionne les exposants. Quotient : on les soustrait. Puissance : on les multiplie.
Le calcul, pas à pas
Écrire \((e^x)^3=e^{x^3}\). La puissance multiplie l’exposant : \(3\times x\), pas \(x^3\).
Contrôle. Avec \(x=0\) dans \(B\) : \(\frac{e^{1}}{e^{-1}}=e^{2}=e^{0+2}\) ✓.
Exercice 2 · Résoudre des équations
Résoudre dans \(\mathbb R\) : a) \(e^{2x-1}=e^{x+3}\) ; b) \(e^{x^2}\times e^{-2x}=e^{3}\) ; c) \(e^{x}+1=0\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Les ensembles de solutions.
MéthodeOn écrit chaque membre comme une seule exponentielle, puis \(e^a=e^b\iff a=b\).
Le calcul, pas à pas
En c), « résoudre » \(x=\dots\) en inventant une opération. On écrit simplement : \(e^x\gt0\), donc \(e^x=-1\) est impossible.
Contrôle. b) Avec \(x=3\) : \(9-6=3\) ✓ ; avec \(x=-1\) : \(1+2=3\) ✓.
Exercice 3 · Résoudre des inéquations
Résoudre dans \(\mathbb R\) : a) \(e^{3x}\geqslant e^{x+4}\) ; b) \(e^{1-x}\lt1\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Des intervalles.
MéthodeL’exponentielle est strictement croissante : comparer les exponentielles revient à comparer les exposants, sans changer le sens. On écrit \(1=e^0\).
Le calcul, pas à pas
En b), passer de \(-x\lt-1\) à \(x\lt1\) sans changer le sens. Diviser par \(-1\) inverse l’inégalité.
Contrôle. b) Avec \(x=2\) : \(e^{-1}\approx0{,}37\lt1\) ✓ ; avec \(x=0\) : \(e^{1}\approx2{,}7\), pas solution ✓.
Exercice 4 · Dériver avec l’exponentielle
Dériver sur \(\mathbb R\) : \(f(x)=e^{3x-2}\) ; \(g(x)=x\,e^{x}\) ; \(h(x)=(2x+1)\,e^{-x}\). Donner chaque résultat sous forme factorisée.
Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Trois dérivées, factorisées par l’exponentielle.
Méthode\((e^{ax+b})'=a\,e^{ax+b}\) ; pour un produit, \(u'v+uv'\), puis on met l’exponentielle en facteur.
Le calcul, pas à pas
Écrire \((e^{-x})'=e^{-x}\). On oublie le facteur \(a=-1\) : tout le signe de \(h'\) devient faux.
Contrôle. Taux d’accroissement de \(g\) en 0 : \(\frac{g(h)-g(0)}{h}=\frac{h\,e^h}{h}=e^h\), qui tend vers \(e^0=1=g'(0)\) ✓.
Exercice 5 · Signe d’un produit
Étudier le signe sur \(\mathbb R\) de a) \((4-2x)\,e^{x}\) ; b) \(e^{x}-1\) ; c) \((4-2x)(e^{x}-1)\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Des tableaux de signes.
Méthodea) \(e^x\gt0\) : le signe est celui de \(4-2x\). b) \(e^x\gt1\iff x\gt0\). c) On croise les deux dans un tableau.
Le calcul, pas à pas
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(4-2x\) | + | + | 0 | − | |||
| \(e^x-1\) | − | 0 | + | + | |||
| produit | − | 0 | + | 0 | − |
Dire que \(e^x-1\) est toujours positif « parce qu’une exponentielle est positive ». C’est \(e^x\) qui est positif, pas \(e^x-1\).
Contrôle. c) Avec \(x=1\) : \(2\times(e-1)\gt0\) ✓, cohérent avec le signe \(+\) entre 0 et 2.
Exercice 6 · Tangentes à la courbe
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle a) au point d’abscisse 0 ; b) au point d’abscisse 1. Que remarque-t-on pour la seconde ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Deux équations \(y=mx+p\).
Méthode\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), avec \(f=f'=\exp\).
Le calcul, pas à pas
La tangente en 1 a pour équation \(y=ex\) : elle passe par l’origine du repère.
Remplacer \(e\) par 2,7 dans l’équation. Sans calculatrice, on garde la valeur exacte \(e\).
Contrôle. b) Avec \(x=1\) : \(y=e=f(1)\) ✓, la tangente passe bien par le point de contact.
Exercice 7 · Étude de x e^x
Soit \(g(x)=x\,e^{x}\) sur \([-3\,;1]\). En utilisant l’exercice 4, dresser le tableau de variations de \(g\) et donner son minimum.
Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Un tableau de variations complet et un extremum.
Méthode\(g'(x)=(x+1)e^x\) : comme \(e^x\gt0\), \(g'(x)\) a le signe de \(x+1\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(g(x)\) | \(-3e^{-3}\) | ↘ | \(-e^{-1}\) | ↗ | \(e\) |
Le calcul, pas à pas
Rédaction attendue. Pour tout \(x\), \(e^x\gt0\), donc \(g'(x)\) a le signe de \(x+1\) : \(g\) est décroissante sur \([-3\,;-1]\) et croissante sur \([-1\,;1]\).
Oublier la justification « \(e^x\gt0\) ». Sans elle, le passage au signe de \(x+1\) n’est pas démontré.
Contrôle. \(-3e^{-3}\approx-0{,}15\) est bien au-dessus de \(-e^{-1}\approx-0{,}37\) : le minimum est cohérent ✓.
Exercice 8 · Une suite géométrique cachée
Soit \(u_n=e^{-0{,}5n}\) pour tout entier \(n\). Démontrer que \((u_n)\) est géométrique, puis donner son sens de variation.
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Une raison, un premier terme, un sens de variation.
MéthodeOn écrit \(u_{n+1}\) et on fait apparaître \(u_n\) avec \(e^{a+b}=e^a\times e^b\).
Le calcul, pas à pas
Rédaction attendue. \((u_n)\) est géométrique de raison \(e^{-0{,}5}\in\,]0\,;1[\) et de premier terme \(1\gt0\) : elle est décroissante.
Prendre \(-0{,}5\) pour raison. La raison est le facteur multiplicatif \(e^{-0{,}5}\), pas l’exposant.
Contrôle. \(u_1=e^{-0{,}5}\approx0{,}61\lt u_0=1\) ✓.
Exercice 9 · Refroidissement d’un café, format épreuve
La température d’un café, en °C, est modélisée par \(f(t)=20+60\,e^{-0{,}1t}\), où \(t\) est le temps en minutes, \(t\in[0\,;30]\). On donne \(e^{-1}\approx0{,}37\).
- Calculer la température initiale.
- Calculer \(f'(t)\) et en déduire le sens de variation de \(f\).
- Donner une valeur approchée de la température au bout de 10 minutes.
- Le café peut-il atteindre 20 °C sur cette période ? Justifier.
- Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 et l’interpréter.
Voir la correction détaillée de l’exercice 9
Une valeur, des variations, une estimation, une justification par le signe, une tangente.
MéthodeDérivée de \(e^{at}\) avec \(a=-0{,}1\), puis le signe se lit sur le coefficient devant l’exponentielle.
1 et 2. Valeur initiale et variations
3. Au bout de 10 minutes
4. Peut-il atteindre 20 °C ?
\(f(t)-20=60\,e^{-0{,}1t}\gt0\) pour tout \(t\) : la température reste strictement supérieure à 20 °C. Le café se rapproche de la température de la pièce sans jamais l’atteindre.
5. La tangente en 0
Au moment où il est servi, le café perd environ 6 °C par minute : c’est sa vitesse de refroidissement initiale.
Question 2 : oublier le facteur \(-0{,}1\) et trouver \(f'(t)=60e^{-0{,}1t}\gt0\), donc un café qui se réchauffe. Un résultat absurde doit faire relire le calcul.
Contrôle. \(f(10)\approx42{,}2\) est bien entre \(f(30)\gt20\) et \(f(0)=80\), cohérent avec une fonction décroissante ✓.
Auto-test
Trois bonnes réponses : passe à un sujet complet. Sinon, refais les exercices concernés.
Simplifier \(\dfrac{e^{x+3}}{e^{x}}\).
Résoudre \(e^{2x}=e\).
Dériver \(e^{-4x+1}\).
Le dossier épreuve anticipée
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L’exponentielle, des règles de calcul à l’étude complète.
En stage et dans le groupe Première, chaque étude de fonction est rédigée puis corrigée selon les attendus de l’épreuve. Un corrigé reste flou ? Envoie une photo de ta copie sur WhatsApp.
Sources
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