Épreuve anticipée · Fiche spécialité maths

Probabilités conditionnelles : tableau, arbre, probabilités totales, indépendance. 10 exercices corrigés.

Tout le chapitre de Première spécialité : lire un tableau croisé, construire un arbre pondéré, calculer une probabilité totale, inverser un conditionnement, tester l’indépendance. Avec la rédaction attendue, sans calculatrice.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 22 octobre 2026 · Durée : 1 h 30 · Sources officielles citées en fin de page

Commencer l’exercice 1 →Revoir le cours d’abord

L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Voie technologique : les parties 1 à 4 et les exercices 1 à 6 couvrent l’essentiel. Voir aussi l’épreuve en voie technologique.

1. Les règles de base

\[P(\overline A)=1-P(A)\qquad\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

\(A\cap B\) : « \(A\) et \(B\) ». \(A\cup B\) : « \(A\) ou \(B\) » (l’un, l’autre ou les deux). \(\overline A\) : « non \(A\) ».

2. La probabilité conditionnelle

Si \(P(A)\neq0\), la probabilité de \(B\) sachant \(A\) est :

\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{\ca{P(A)}}\qquad\text{d’où}\qquad \cb{P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)}\]

« Sachant \(A\) » : on se restreint à la population \(A\), qui devient la référence et passe au dénominateur. Dans un tableau d’effectifs : \(P_A(B)=\dfrac{\text{effectif de }A\cap B}{\text{effectif de }A}\).

Piège classique

Confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\). Les deux ont le même numérateur \(P(A\cap B)\), pas le même dénominateur.

3. Tableau croisé ou arbre ?

L’énoncé donne des effectifs : tableau croisé. Il donne des pourcentages successifs (« 60 % des élèves… parmi eux, 70 %… ») : arbre pondéré. Sur les branches du second niveau, on écrit des probabilités conditionnelles.

P(A)APA(B)BP(A∩B) = P(A)×PA(B)PA(B)BP(A∩B)P(A)APA(B)BP(A∩B)PA(B)BP(A∩B)
Un chemin = une intersection. On multiplie le long du chemin.
Les trois règles de l’arbre
  1. Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1.
  2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
  3. La probabilité d’un événement est la somme des chemins qui y mènent.

4. La formule des probabilités totales

\(A\) et \(\overline A\) forment une partition de l’univers (ils ne se chevauchent pas et couvrent tout). Alors :

\[P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline A)\,P_{\overline A}(B)\]

C’est la règle 3 de l’arbre, écrite en formule. Elle vaut aussi avec trois événements \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) qui forment une partition.

5. Inverser le conditionnement

L’arbre donne \(P_A(B)\) ; on demande souvent \(P_B(A)\). On revient à la définition : \(P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), avec \(P(A\cap B)\) lu sur un chemin et \(P(B)\) obtenu par les probabilités totales.

6. L’indépendance

\(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\). Lorsque \(P(A)\neq0\), cela revient à \(P_A(B)=P(B)\) : savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\). Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, \(A\) et \(\overline B\) le sont aussi.

« Incompatibles » et « indépendants » ne veulent pas dire la même chose. Incompatibles : \(P(A\cap B)=0\). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

7. Deux épreuves indépendantes successives

Tirage avec remise, lancers successifs : les branches du second niveau sont les mêmes que celles du premier. La probabilité d’une issue \((x\,;y)\) est le produit \(P(x)\times P(y)\).

Les exercices

Pour chaque question, commence par nommer la probabilité demandée (« c’est \(P_F(D)\) »). Une fois l’écriture juste, le calcul suit.

Exercice 1 · Lire un tableau croisé

Niveau ★★★ Réflexe

Un lycée compte 200 élèves de Première : 120 sont demi-pensionnaires, dont 70 filles ; les 80 autres sont externes, dont 30 filles. On choisit un élève au hasard. On note \(F\) : « c’est une fille » et \(D\) : « il est demi-pensionnaire ».

  1. Construire le tableau croisé des effectifs.
  2. Calculer \(P(F\cap D)\).
  3. Sachant que l’élève est une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit demi-pensionnaire ?
  4. Sachant que l’élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Une probabilité simple, puis deux probabilités conditionnelles à ne pas confondre.

Méthode

On complète le tableau par soustraction, puis on lit : la population « sachant » est au dénominateur.

FillesGarçonsTotal
Demi-pensionnaires7050120
Externes305080
Total100100200

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(F\cap D)=\frac{70}{200}=0{,}35\)
2. Référence : tous les élèves.
\(\displaystyle P_F(D)=\frac{70}{\ca{100}}=\cb{0{,}7}\)
3. Référence : les 100 filles.
\(\displaystyle P_D(F)=\frac{70}{\ca{120}}=\cb{\frac7{12}}\)
4. Référence : les 120 demi-pensionnaires.
Piège classique

Donner la même réponse aux questions 3 et 4. Même numérateur, mais la population de référence change.

Contrôle. Par la formule : \(P_F(D)=\frac{P(F\cap D)}{P(F)}=\frac{0{,}35}{0{,}5}=0{,}7\) ✓.

Exercice 2 · Contraire, intersection, réunion

Niveau ★★★ Réflexe

On donne \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}15\). Calculer \(P(\overline A)\), \(P(A\cup B)\) et \(P(\overline A\cap B)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Trois probabilités à partir de trois données.

Méthode

Contraire et réunion : les formules du cours. Pour \(\overline A\cap B\) : \(B\) se découpe en « \(B\) avec \(A\) » et « \(B\) sans \(A\) ».

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6\)
\(\displaystyle P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5\ca{-0{,}15}=0{,}75\)
On retire l’intersection, comptée deux fois.
\(\displaystyle P(\overline A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}15=\cb{0{,}35}\)
\(P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)\).
Piège classique

Écrire \(P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5=0{,}9\). L’addition simple ne vaut que si \(A\) et \(B\) sont incompatibles.

Contrôle. \(P(A\cup B)=P(A)+P(\overline A\cap B)=0{,}4+0{,}35=0{,}75\) ✓.

Exercice 3 · Probabilité conditionnelle par la formule

Niveau ★★★ Réflexe

On donne \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}1\). Calculer \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Deux probabilités conditionnelles.

Méthode

Même numérateur \(P(A\cap B)\) ; au dénominateur, l’événement qui suit « sachant ».

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P_A(B)=\frac{0{,}1}{\ca{0{,}4}}=\cb{0{,}25}\)
Sachant \(A\) : on divise par \(P(A)\).
\(\displaystyle P_B(A)=\frac{0{,}1}{\ca{0{,}5}}=\cb{0{,}2}\)
Sachant \(B\) : on divise par \(P(B)\).
Piège classique

Diviser par \(P(B)\) pour \(P_A(B)\). L’indice est la condition, et la condition va au dénominateur.

Contrôle. \(P(A)\times P_A(B)=0{,}4\times0{,}25=0{,}1=P(A\cap B)\) ✓.

Exercice 4 · Construire un arbre pondéré

Niveau ★★★ Application

Dans un lycée, 60 % des élèves de Première suivent la spécialité maths. Parmi eux, 70 % réussissent un QCM d’automatismes ; parmi les autres, 40 % le réussissent. On choisit un élève au hasard. On note \(M\) : « il suit la spécialité maths » et \(R\) : « il réussit le QCM ».

  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que l’élève suive la spécialité maths et réussisse le QCM.
Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un arbre complet, puis la probabilité d’un chemin.

Méthode

Premier niveau : \(M\) ou \(\overline M\). Second niveau : « parmi eux » signale une probabilité conditionnelle. On complète chaque nœud pour obtenir une somme de 1.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(M)=0{,}6,\quad P(\overline M)=0{,}4\)
Premier niveau.
\(\displaystyle P_M(R)=0{,}7,\quad P_M(\overline R)=0{,}3\)
« Parmi eux ».
\(\displaystyle P_{\overline M}(R)=0{,}4,\quad P_{\overline M}(\overline R)=0{,}6\)
« Parmi les autres ».
0,6M0,7RP(M∩R) = 0,420,3RP(M∩R) = 0,180,4M0,4RP(M∩R) = 0,160,6RP(M∩R) = 0,24
Chaque nœud : les deux branches ont une somme de 1.
\(\displaystyle P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}6\times0{,}7=\cb{0{,}42}\)
2. Produit le long du chemin.
Piège classique

Écrire \(P(R)=0{,}7\) sur la branche. 0,7 est \(P_M(R)\) : c’est une proportion parmi les élèves de spécialité, pas parmi tous.

Contrôle. Les quatre chemins : \(0{,}42+0{,}18+0{,}16+0{,}24=1\) ✓.

Exercice 5 · Formule des probabilités totales

Niveau ★★★ Application

Avec l’arbre de l’exercice 4, calculer la probabilité qu’un élève choisi au hasard réussisse le QCM.

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

\(P(R)\), sans condition.

Méthode

Deux chemins mènent à \(R\). \(M\) et \(\overline M\) forment une partition : on additionne.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(R)=P(M\cap R)+P(\overline M\cap R)\)
Probabilités totales, avec la partition \(\{M\,;\overline M\}\).
\(\displaystyle =0{,}6\times0{,}7+0{,}4\times0{,}4\)
On multiplie le long de chaque chemin.
\(\displaystyle =0{,}42+0{,}16=\cb{0{,}58}\)

Rédaction attendue. \(M\) et \(\overline M\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales, \(P(R)=P(M\cap R)+P(\overline M\cap R)=0{,}58\).

Piège classique

Additionner \(0{,}7+0{,}4=1{,}1\). On additionne des chemins (produits), jamais des branches.

Contrôle. 0,58 est entre 0,4 et 0,7, les deux taux de réussite : une moyenne pondérée est toujours entre les deux ✓.

Exercice 6 · Inverser le conditionnement

Niveau ★★★ Application

Toujours avec l’arbre de l’exercice 4 : un élève a réussi le QCM. Quelle est la probabilité qu’il suive la spécialité maths ?

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

« Il a réussi » est la condition : on cherche \(P_R(M)\), qui n’est pas sur l’arbre.

Méthode

Définition : \(P_R(M)=\frac{P(M\cap R)}{P(R)}\). Le numérateur vient de l’exercice 4, le dénominateur de l’exercice 5.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P_R(M)=\frac{P(M\cap R)}{\ca{P(R)}}=\frac{0{,}42}{0{,}58}\)
\(\displaystyle =\frac{42}{58}=\cb{\frac{21}{29}}\)
On multiplie en haut et en bas par 100, puis on simplifie par 2.

Environ 72 % des élèves qui réussissent suivent la spécialité, alors qu’ils ne sont que 60 % de l’ensemble.

Piège classique

Répondre 0,7. C’est \(P_M(R)\), la réussite parmi les élèves de spécialité, pas la spécialité parmi ceux qui réussissent.

Contrôle. \(\frac{21}{29}\) est entre 0 et 1, et supérieur à \(P(M)=0{,}6\) : réussir rend « spécialité maths » plus probable, c’est cohérent ✓.

Exercice 7 · Retrouver une branche inconnue

Niveau ★★★ Application

On donne \(P(A)=0{,}3\), \(P_A(B)=0{,}6\) et \(P(B)=0{,}5\). Calculer \(P_{\overline A}(B)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

Une probabilité de branche, notée \(x\).

Méthode

On écrit la formule des probabilités totales avec l’inconnue, puis on résout une équation du premier degré.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline A)\,\ca x\)
\(x=P_{\overline A}(B)\).
\(\displaystyle 0{,}5=0{,}3\times0{,}6+0{,}7x\)
\(P(\overline A)=0{,}7\).
\(\displaystyle 0{,}7x=0{,}5-0{,}18=0{,}32\)
\(\displaystyle x=\frac{0{,}32}{0{,}7}=\frac{32}{70}=\cb{\frac{16}{35}}\)
On garde la fraction, sans calculatrice.
Piège classique

Écrire \(P_{\overline A}(B)=1-P_A(B)=0{,}4\). Le complément à 1 se fait entre branches d’un même nœud : \(P_A(\overline B)=1-P_A(B)\).

Contrôle. \(0{,}18+0{,}7\times\frac{16}{35}=0{,}18+0{,}32=0{,}5\) ✓.

Exercice 8 · Indépendants ou pas ?

Niveau ★★★ Application

On lance un dé équilibré à six faces. On note \(A\) : « le résultat est pair », \(B\) : « le résultat est inférieur ou égal à 4 » et \(C\) : « le résultat est inférieur ou égal à 3 ».

  1. \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
  2. \(A\) et \(C\) sont-ils indépendants ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Comparer \(P(A\cap B)\) et \(P(A)\times P(B)\).

Méthode

On liste les issues de chaque événement, puis de l’intersection. Équiprobabilité : nombre d’issues sur 6.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle A=\{2;4;6\},\ B=\{1;2;3;4\},\ A\cap B=\{2;4\}\)
1. On liste.
\(\displaystyle P(A)\times P(B)=\frac12\times\frac23=\frac13=P(A\cap B)\)
\(P(A\cap B)=\frac26=\frac13\).
\(\displaystyle \cb{A\text{ et }B\text{ indépendants}}\)
\(\displaystyle C=\{1;2;3\},\ A\cap C=\{2\},\ P(A\cap C)=\frac16\)
2.
\(\displaystyle P(A)\times P(C)=\frac12\times\frac12=\frac14\neq\frac16\)
\(\Rightarrow\) \(A\) et \(C\) non indépendants.

Interprétation : parmi \(\{1;2;3;4\}\), la moitié des résultats sont pairs, comme sur tout le dé. Parmi \(\{1;2;3\}\), un seul sur trois l’est : savoir \(C\) change la probabilité de \(A\).

Piège classique

Juger « à l’intuition » que deux événements liés au même dé sont dépendants. Seul le calcul tranche.

Contrôle. \(P_B(A)=\frac{1/3}{2/3}=\frac12=P(A)\) ✓, la deuxième caractérisation de l’indépendance.

Exercice 9 · Deux tirages avec remise

Niveau ★★★ Application

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule. Calculer la probabilité d’obtenir : a) deux boules rouges ; b) exactement une boule rouge ; c) au moins une boule rouge.

Voir la correction détaillée de l’exercice 9
Ce qu’on cherche

Trois probabilités sur deux tirages.

Méthode

Avec remise, les deux tirages sont indépendants : les branches du second niveau répètent celles du premier. « Au moins une » : on passe par le contraire.

3/5R3/5RRR : 9/252/5NRN : 6/252/5N3/5RNR : 6/252/5NNN : 4/25
Avec remise : les mêmes probabilités aux deux niveaux.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(RR)=\frac35\times\frac35=\cb{\frac9{25}}\)
a) Un seul chemin.
\(\displaystyle P(RN)+P(NR)=\frac6{25}+\frac6{25}=\cb{\frac{12}{25}}\)
b) Deux chemins : rouge d’abord, ou noire d’abord.
\(\displaystyle 1-\ca{P(NN)}=1-\frac4{25}=\cb{\frac{21}{25}}\)
c) Le contraire de « au moins une rouge » est « aucune rouge ».
Piège classique

b) Compter un seul chemin et trouver \(\frac6{25}\). L’ordre compte dans l’arbre : RN et NR sont deux issues différentes.

Contrôle. \(\frac9{25}+\frac{12}{25}=\frac{21}{25}\) : « au moins une » = « deux » + « exactement une » ✓.

Exercice 10 · Test de contrôle, format épreuve

Niveau ★★★ Format épreuve

Une usine fabrique des pièces, dont 5 % sont défectueuses. Un test de contrôle est positif pour 90 % des pièces défectueuses, mais aussi pour 10 % des pièces non défectueuses. On choisit une pièce au hasard ; on note \(D\) : « la pièce est défectueuse » et \(T\) : « le test est positif ».

  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer \(P(D\cap T)\), puis montrer que \(P(T)=0{,}14\).
  3. Le test est positif. Quelle est la probabilité que la pièce soit réellement défectueuse ? Commenter.
  4. Les événements \(D\) et \(T\) sont-ils indépendants ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 10
Ce qu’on cherche

Le schéma complet de l’épreuve : arbre, chemin, probabilités totales, inversion, indépendance.

Méthode

Les exercices 4, 5, 6 et 8, enchaînés. Les données « pour 90 % des pièces défectueuses » sont des probabilités conditionnelles.

1. L’arbre

0,05D0,9TP(D∩T) = 0,0450,1TP(D∩T) = 0,0050,95D0,1TP(D∩T) = 0,0950,9TP(D∩T) = 0,855
\(P(D)=0{,}05\), \(P_D(T)=0{,}9\), \(P_{\overline D}(T)=0{,}1\).

2. Chemin et probabilités totales

\(\displaystyle P(D\cap T)=0{,}05\times0{,}9=\cb{0{,}045}\)
Produit le long du chemin.
\(\displaystyle P(T)=P(D\cap T)+P(\overline D\cap T)\)
\(\{D\,;\overline D\}\) est une partition.
\(\displaystyle =0{,}045+0{,}95\times0{,}1=0{,}045+0{,}095=\cb{0{,}14}\)

3. L’inversion

\(\displaystyle P_T(D)=\frac{P(D\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}045}{0{,}14}=\frac{45}{140}=\cb{\frac9{28}}\)
On multiplie par 1000, puis on simplifie par 5.

\(\frac9{28}\) vaut un peu moins de \(\frac13\) : une pièce testée positive sur trois environ est réellement défectueuse. Le test, fiable à 90 % sur les pièces défectueuses, donne beaucoup de faux positifs, car les pièces saines sont 19 fois plus nombreuses.

4. L’indépendance

\(\displaystyle P(D)\times P(T)=0{,}05\times0{,}14=0{,}007\)
\(\displaystyle 0{,}007\neq0{,}045=P(D\cap T)\)
\(\Rightarrow\) \(D\) et \(T\) ne sont pas indépendants.

Heureusement : un test indépendant de l’état de la pièce ne servirait à rien.

Piège classique

Question 3 : répondre 0,9. C’est \(P_D(T)\), la fiabilité du test sur les pièces défectueuses, pas la probabilité d’être défectueuse quand le test est positif.

Contrôle. Sur 1 000 pièces : 50 défectueuses dont 45 positives, 950 saines dont 95 positives. Parmi les 140 positives, 45 sont défectueuses : \(\frac{45}{140}\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe à un sujet complet. Sinon, refais les exercices concernés.

\(P(A)=0{,}5\) et \(P_A(B)=0{,}4\). Que vaut \(P(A\cap B)\) ?
\(0{,}5\times0{,}4=0{,}2\) (exercice 4).
Sur un arbre, \(P_A(B)=0{,}35\). Quelle probabilité porte l’autre branche issue de \(A\) ?
\(P_A(\overline B)=1-0{,}35=0{,}65\) (exercice 7).
\(A\) et \(B\) indépendants, \(P(A)=0{,}3\), \(P(B)=0{,}2\). Que vaut \(P(A\cap B)\) ?
\(0{,}3\times0{,}2=0{,}06\) (exercice 8).

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