Épreuve anticipée · Fiche sans spécialité

Probabilités conditionnelles sans spécialité : tableau, arbre pondéré, indépendance. 8 exercices corrigés.

Calculer une probabilité à partir d’un tableau croisé ou d’un arbre, passer de \(P_A(B)\) à \(P_B(A)\), reconnaître deux événements indépendants et modéliser deux épreuves successives. Exactement ce que demande le programme du tronc commun.

Par Jimmy Tourtelot, professeur de mathématiques · Mis à jour le 22 octobre 2026 · Durée : 1 h 15 · Programme du tronc commun de Première

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L’essentiel du cours avant de commencer

Dans les exemples : l’élément clé en orange, ce qu’on obtient surligné.

Cette fiche suit le programme des élèves de Première sans spécialité maths. Elle prolonge la fiche tableaux croisés : une probabilité conditionnelle se calcule comme une fréquence conditionnelle. En spécialité, voir la fiche probabilités conditionnelles.

1. Vocabulaire

Dans une situation d’équiprobabilité, \(P(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}\). L’événement contraire \(\bar A\) (« non \(A\) ») vérifie \(P(\bar A)=1-P(A)\). L’événement « \(A\) et \(B\) » se note aussi \(A\cap B\).

2. Probabilité conditionnelle

La probabilité de \(B\) sachant \(A\) est la probabilité de \(B\) quand on se restreint aux issues où \(A\) est réalisé :

\[P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{\ca{P(A)}}\qquad\text{donc}\qquad P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\]

Avec un tableau d’effectifs : \(P_A(B)=\dfrac{\text{effectif de « }A\text{ et }B\text{ »}}{\text{effectif de }A}\).

\(P_A(B)=P_B(A)\). Faux : les deux ont le même numérateur, mais pas le même dénominateur.

3. L’arbre pondéré

Sur les branches du premier niveau : \(P(A)\) et \(P(\bar A)\). Sur celles du second niveau : des probabilités conditionnelles. Trois règles :

  • les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1 ;
  • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches ;
  • la probabilité d’un événement est la somme des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales) : \(P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)\).

4. Indépendance

\(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\), autrement dit si \(P_A(B)=P(B)\) : savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\). Pour deux épreuves indépendantes successives, on multiplie les probabilités.

La méthode en trois questions
  1. Tableau ou arbre ? Des effectifs croisés : tableau. Des étapes successives (« parmi eux… ») : arbre.
  2. Sachant quoi ? Le « sachant » ou le « parmi » donne le dénominateur.
  3. Un chemin ou plusieurs ? On multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins.
Piège classique

Écrire \(P(R)=0{,}1\) parce que « 10 % des bus sont en retard ». C’est \(P_B(R)\), une probabilité conditionnelle : elle se place au second niveau de l’arbre.

Les exercices

Avant chaque calcul, traduis l’énoncé en notation : \(P(A)\), \(P_A(B)\) ou \(P(A\cap B)\). C’est là que tout se joue.

Exercice 1 · Équiprobabilité et contraire

Niveau ★★★ Réflexe

Une urne contient 3 boules rouges, 5 bleues et 2 vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité : a) qu’elle soit rouge ; b) qu’elle ne soit pas bleue ; c) qu’elle soit rouge ou verte.

Voir la correction détaillée de l’exercice 1
Ce qu’on cherche

Trois probabilités.

Méthode

Équiprobabilité : favorables sur total, avec 10 boules au total.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(R)=\frac{3}{\ca{10}}=\cb{0{,}3}\)
a) \(3+5+2=10\) boules.
\(\displaystyle P(\bar B)=1-\frac5{10}=\cb{0{,}5}\)
b) Événement contraire.
\(\displaystyle P(R\text{ ou }V)=\frac{3+2}{10}=\cb{0{,}5}\)
c) Rouge et verte ne peuvent pas se produire ensemble : on additionne.
Piège classique

Répondre \(\frac13\) au a) en raisonnant sur les trois couleurs. Les couleurs ne sont pas équiprobables : ce sont les boules qui le sont.

Contrôle. « Pas bleue » et « rouge ou verte » sont le même événement : même probabilité ✓.

Exercice 2 · Probabilités à partir d’un tableau

Niveau ★★★ Réflexe

Dans un lycée de 200 élèves de Première, 110 sont des filles et 140 étudient l’espagnol ; 80 filles étudient l’espagnol. On choisit un élève au hasard. On note \(F\) : « c’est une fille » et \(E\) : « il étudie l’espagnol ».

  1. Compléter un tableau croisé des effectifs.
  2. Calculer \(P(F\cap E)\), \(P_F(E)\) et \(P_E(F)\).
  3. Calculer \(P_{\bar F}(E)\) et comparer avec \(P_F(E)\).
Voir la correction détaillée de l’exercice 2
Ce qu’on cherche

Un tableau, une probabilité conjointe, trois conditionnelles.

Méthode

Probabilité conditionnelle : case divisée par le total de la population « sachant ».

1. Le tableau

\(E\)\(\bar E\)Total
\(F\)8030110
\(\bar F\)603090
Total14060200

2. Les probabilités

\(\displaystyle P(F\cap E)=\frac{80}{200}=\cb{0{,}4}\)
Sur l’effectif total.
\(\displaystyle P_F(E)=\frac{80}{\ca{110}}=\frac8{11}\approx\cb{0{,}727}\)
Parmi les filles.
\(\displaystyle P_E(F)=\frac{80}{140}=\frac47\approx\cb{0{,}571}\)
Parmi les hispanistes.

3. Les garçons

\(\displaystyle P_{\bar F}(E)=\frac{60}{90}=\frac23\approx\cb{0{,}667}\)
Un peu moins que chez les filles (0,727).
Piège classique

Confondre \(P(F\cap E)=0{,}4\) et \(P_F(E)\approx0{,}727\) : « une fille qui fait de l’espagnol » parmi tous les élèves, ou « faire de l’espagnol » parmi les filles.

Contrôle. \(P(F)\times P_F(E)=\frac{110}{200}\times\frac{80}{110}=\frac{80}{200}=P(F\cap E)\) ✓.

Exercice 3 · Appliquer la formule

Niveau ★★★ Réflexe

a) On sait que \(P(A)=0{,}3\) et \(P(A\cap B)=0{,}12\). Calculer \(P_A(B)\).
b) On sait que \(P(C)=0{,}8\) et \(P_C(D)=0{,}25\). Calculer \(P(C\cap D)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 3
Ce qu’on cherche

Une conditionnelle, puis une intersection.

Méthode

\(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\), et dans l’autre sens \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P_A(B)=\frac{0{,}12}{\ca{0{,}3}}=\cb{0{,}4}\)
a) \(\frac{12}{30}=\frac25\).
\(\displaystyle P(C\cap D)=0{,}8\times0{,}25=\cb{0{,}2}\)
b) Un quart de 0,8.
Piège classique

Calculer \(0{,}3\times0{,}12\) au a). On multiplie pour obtenir l’intersection, on divise pour obtenir la conditionnelle.

Contrôle. \(0{,}3\times0{,}4=0{,}12\) ✓ ; et \(0{,}2\le0{,}8\), une intersection est toujours plus petite que chacun des deux événements ✓.

Exercice 4 · Arbre et probabilités totales

Niveau ★★★ Application

Pour venir au lycée, 70 % des élèves prennent le bus, les autres le tram. 10 % des élèves qui prennent le bus arrivent en retard, contre 20 % de ceux qui prennent le tram. On choisit un élève au hasard. \(B\) : « il prend le bus », \(R\) : « il arrive en retard ».

  1. Construire un arbre pondéré.
  2. Calculer \(P(R)\).
  3. Un élève arrive en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait pris le bus ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 4
Ce qu’on cherche

Un arbre, une probabilité totale, une probabilité « inversée ».

Méthode

Traduction : \(P(B)=0{,}7\), \(P_B(R)=0{,}1\), \(P_{\bar B}(R)=0{,}2\).

1. L’arbre

0,7B0,1R0,7 × 0,1 = 0,070,9R0,630,3B0,2R0,3 × 0,2 = 0,060,8R0,24

2. La probabilité du retard

\(\displaystyle P(B\cap R)=0{,}7\times0{,}1=0{,}07\)
Chemin bus puis retard.
\(\displaystyle P(\bar B\cap R)=0{,}3\times0{,}2=0{,}06\)
Chemin tram puis retard.
\(\displaystyle P(R)=0{,}07+0{,}06=\cb{0{,}13}\)
On additionne les deux chemins.

3. Sachant le retard

\(\displaystyle P_R(B)=\frac{P(B\cap R)}{\ca{P(R)}}=\frac{0{,}07}{0{,}13}=\frac7{13}\approx\cb{0{,}538}\)
Le dénominateur est \(P(R)\), pas \(P(B)\).
Piège classique

Question 3 : répondre 0,1. C’est \(P_B(R)\), la probabilité d’être en retard sachant qu’on prend le bus. On demande l’inverse.

Contrôle. Les quatre chemins : \(0{,}07+0{,}63+0{,}06+0{,}24=1\) ✓.

Exercice 5 · Tester l’indépendance

Niveau ★★★ Application

Dans chaque cas, les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?
a) \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}4\), \(P(A\cap B)=0{,}2\).
b) \(P(A)=0{,}55\), \(P(B)=0{,}7\), \(P(A\cap B)=0{,}4\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 5
Ce qu’on cherche

Une égalité vraie ou fausse.

Méthode

On compare \(P(A)\times P(B)\) et \(P(A\cap B)\).

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 0{,}5\times0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)\)
a) \(A\) et \(B\) sont indépendants.
\(\displaystyle 0{,}55\times0{,}7=\ca{0{,}385}\neq0{,}4\)
b) \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

Dans le cas b), \(P_A(B)=\frac{0{,}4}{0{,}55}\approx0{,}727\) alors que \(P(B)=0{,}7\) : savoir que \(A\) est réalisé rend \(B\) un peu plus probable.

Piège classique

Confondre « indépendants » et « incompatibles » (qui ne peuvent pas se produire ensemble). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Contrôle. Cas a) : \(P_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4=P(B)\) ✓.

Exercice 6 · Deux épreuves indépendantes

Niveau ★★★ Application

Sur un trajet, un automobiliste rencontre deux feux qui fonctionnent de façon indépendante. Chaque feu est vert avec une probabilité 0,6. Calculer la probabilité : a) que les deux feux soient verts ; b) qu’exactement un feu soit vert ; c) qu’aucun ne soit vert.

Voir la correction détaillée de l’exercice 6
Ce qu’on cherche

Trois probabilités sur deux épreuves successives.

Méthode

Arbre à deux niveaux ; les épreuves étant indépendantes, les branches du second niveau sont identiques : 0,6 et 0,4.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle 0{,}6\times0{,}6=\cb{0{,}36}\)
a) Chemin vert-vert.
\(\displaystyle \ca{0{,}6\times0{,}4+0{,}4\times0{,}6}=\cb{0{,}48}\)
b) Deux chemins : vert-rouge et rouge-vert.
\(\displaystyle 0{,}4\times0{,}4=\cb{0{,}16}\)
c) Chemin rouge-rouge.
Piège classique

Question b) : oublier l’un des deux chemins et répondre 0,24. « Exactement un » peut être le premier ou le second feu.

Contrôle. \(0{,}36+0{,}48+0{,}16=1\) ✓.

Exercice 7 · Retrouver une branche manquante

Niveau ★★★ Application

On sait que \(P(A)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}5\) et \(P(B)=0{,}38\). Calculer \(P(\bar A\cap B)\), puis \(P_{\bar A}(B)\).

Voir la correction détaillée de l’exercice 7
Ce qu’on cherche

La probabilité portée par une branche du second niveau.

Méthode

On part de la formule des probabilités totales et on isole l’inconnue.

Le calcul, pas à pas

\(\displaystyle P(A\cap B)=0{,}4\times0{,}5=0{,}2\)
Le chemin connu.
\(\displaystyle P(\bar A\cap B)=0{,}38-0{,}2=\cb{0{,}18}\)
Probabilités totales : \(P(B)-P(A\cap B)\).
\(\displaystyle P_{\bar A}(B)=\frac{0{,}18}{\ca{0{,}6}}=\cb{0{,}3}\)
\(P(\bar A)=1-0{,}4=0{,}6\).
Piège classique

Prendre \(P_{\bar A}(B)=1-0{,}5=0{,}5\). La somme vaut 1 pour les branches issues d’un même nœud : \(P_A(B)+P_A(\bar B)=1\), pas \(P_A(B)+P_{\bar A}(B)\).

Contrôle. \(0{,}4\times0{,}5+0{,}6\times0{,}3=0{,}2+0{,}18=0{,}38\) ✓.

Exercice 8 · Application de révision, format épreuve

Niveau ★★★ Format épreuve

Dans un lycée, 60 % des élèves de Première utilisent une application de révision. Parmi eux, 40 % ont obtenu plus de 12 au dernier devoir commun ; parmi les autres, 25 %. On choisit un élève au hasard. \(U\) : « il utilise l’application », \(N\) : « il a obtenu plus de 12 ».

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer \(P(U\cap N)\), puis montrer que \(P(N)=0{,}34\).
  3. Un élève a obtenu plus de 12. Quelle est la probabilité qu’il utilise l’application ? Arrondir à 0,01.
  4. Les événements \(U\) et \(N\) sont-ils indépendants ?
  5. Le lycée compte 500 élèves de Première. Combien peut-on estimer d’élèves ayant obtenu plus de 12 ?
Voir la correction détaillée de l’exercice 8
Ce qu’on cherche

Toute la chaîne : arbre, intersection, probabilité totale, inversion, indépendance, effectif.

Méthode

Traduction : \(P(U)=0{,}6\), \(P_U(N)=0{,}4\), \(P_{\bar U}(N)=0{,}25\).

1. L’arbre

0,6U0,4N0,6 × 0,4 = 0,240,6N0,360,4U0,25N0,4 × 0,25 = 0,10,75N0,3

2. Intersection et probabilité totale

\(\displaystyle P(U\cap N)=0{,}6\times0{,}4=\cb{0{,}24}\)
\(\displaystyle P(\bar U\cap N)=0{,}4\times0{,}25=0{,}1\)
\(\displaystyle P(N)=0{,}24+0{,}1=\cb{0{,}34}\)
Formule des probabilités totales.

3. Sachant \(N\)

\(\displaystyle P_N(U)=\frac{0{,}24}{\ca{0{,}34}}=\frac{12}{17}\approx\cb{0{,}71}\)
71 % des élèves ayant plus de 12 utilisent l’application.

4. Indépendance

\(\displaystyle 0{,}6\times0{,}34=0{,}204\neq0{,}24\)
\(P(U)\times P(N)\neq P(U\cap N)\) : \(U\) et \(N\) ne sont pas indépendants.

On le voyait déjà sur l’arbre : \(P_U(N)=0{,}4\) et \(P_{\bar U}(N)=0{,}25\) sont différentes.

5. Estimation

\(\displaystyle 0{,}34\times500=\cb{170}\)
Environ 170 élèves.

À retenir pour la rédaction. Le lien n’est pas forcément une cause : les élèves qui utilisent l’application sont peut-être déjà les plus motivés.

Piège classique

Question 3 : répondre 0,4. C’est \(P_U(N)\). On cherche \(P_N(U)\), et on divise par \(P(N)\).

Contrôle. \(P_N(U)\approx0{,}71\) est supérieur à \(P(U)=0{,}6\), cohérent avec un lien positif entre \(U\) et \(N\) ✓.

Auto-test

Trois bonnes réponses : passe au sujet zéro sans spécialité. Sinon, refais les exercices concernés.

\(P(A)=0{,}5\) et \(P(A\cap B)=0{,}1\) : que vaut \(P_A(B)\) ?
\(\frac{0{,}1}{0{,}5}=0{,}2\) (exercice 3).
Sur un arbre, que fait-on le long d’un chemin ?
On multiplie les probabilités des branches (exercice 4).
\(P(A)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}1\) : indépendants ?
Oui, \(0{,}2\times0{,}5=0{,}1\) (exercice 5).

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Se faire accompagner

Arbre, tableau : le bon réflexe à chaque énoncé.

En stage et dans le groupe Première, chaque arbre et chaque probabilité conditionnelle est rédigé puis corrigé selon les attendus de l’épreuve. Un corrigé reste flou ? Envoie une photo de ta copie sur WhatsApp.

Sources

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